UnB, Sem Campus, Cálculo 1, P3 - 2014.2, Questão 1d
Resolva as integrais seguintes:
d) Inspirada na integral de Barack Obama (SQ1796)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente resolver a integral indefinida na forma:
A primeira coisa que a gente pode pensar é em fazer uma substituição simples ou trigonométrica, mas nesse caso nenhuma delas vai ajudar a gente. Mas calma, porque é aí que entra o tal do método das frações parciais. E nós devemos pensar em usar ele sempre que o grau do numerador for menor que o grau do denominador.
Então, o que a gente vai fazer é “quebrar” essa fração em duas mais simples de integrar. Pra isso, a gente vai fatorar o denominador, encontrar as constantes do numerador e substituir na integral.
Vamos lá!
Passo 2
Fatorando o nosso denominador, temos:
Esses termos, e , são os fatores do denominador. São fatores do primeiro grau, com duas raízes distintas, e .
Então, nós vamos escrever nossa expressão assim:
Onde e são constantes.
Pra determinar e , vamos botar tudo no mesmo denominador e comparar os dois lados da equação:
Comparando os termos no numerador, temos:
Resolvendo o sisteminha, a gente encontra:
Passo 3
Então, nós chegamos à conclusão que:
Usando isso pra calcular a integral, temos:
Colocando as constantes pra fora da integral:
Aí agora é só a gente lembrar que . Então, o resultado da nossa integral fica assim:
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉