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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Passo 1

Inicialmente, precisamos encontrar qual caso de substituição se aplica na nossa integral

x 2 + 2

Nesse caso

x = a tan ⁡ θ

Então teremos

x = 2 tan ⁡ θ

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é encontrar d x , derivando

x = 2 tan ⁡ θ

d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora precisamos substituir x   e d x na nossa integral.

∫ d x x 2 + 2 2 = ∫ 2 sec 2 ⁡ θ 2 tan 2 ⁡ θ + 2 2 d θ

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 ∫ sec 2 ⁡ θ 2 ( tan 2 ⁡ θ + 1 ) 2 d θ

Vamos usar a identidade trigonométrica tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 ∫ sec 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ 2 d θ

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 ∫ sec 2 ⁡ θ 4 sec 4 ⁡ θ d θ

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 4 ∫ 1 sec 2 ⁡ θ d θ

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 4 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

O próximo passo é resolver a integral

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 4 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ

Podemos usar outra identidade trigonométrica aqui

cos 2 ⁡ θ = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 4 ∫ 1 2 d θ + 2 4 ∫ cos ⁡ ( 2 θ ) 2 d θ

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 8 θ + 2 16 sen ⁡ ( 2 θ ) + C

Podemos substituir sen ⁡ ( 2 θ ) = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 8 θ + 2 8 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C

Passo 5

Mas não podemos dar a resposta em função de θ , precisamos voltar para x Para isso vamos precisar do triângulo retângulo. Sabemos que

tan ⁡ θ = x 2

Então

Usando Pitágoras podemos encontrar a hipotenusa

h 2 = x 2 + 2

h = x 2 + 2

Com isso, encontramos

sen ⁡ θ = x x 2 + 2

cos ⁡ θ = 2 x 2 + 2

E

θ = arctan ⁡ x 2

Substituindo na nossa integral

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 8 θ + 2 8 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 8 arctan ⁡ x 2 + 2 8 x x 2 + 2 2 x 2 + 2 + C

∫ d x x 2 + 2 2 = 2 8 arctan ⁡ x 2 + 1 4 x x 2 + 2 + C

Resposta

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