UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 1.7
1.7. Use uma substituição trigonométrica para calcular . Dica: represente como uma função envolvendo a partir da fórmula de prostaférese para calcular e da identidade trigonométrica fundamental.
Passo 1
Suave na nave?! Tá complicada essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!
Nesse problema, temos que obter a integral de a partir de alguma substituição trigonométrica envolvendo o .
E aí, que substituição é essa? 🤔
Essa substituição que é mencionada é dada por
Assim, como temos uma função composta no , podemos aplicar o método da substituição para obter essa integral.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
A integral é dada por
Aplicando a identidade trigonométrica...
Como a integral possui propriedades lineares, então podemos dizer que
Na integral de uma constante, o resultado é a própria constante multiplicada pela variável de integração.
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Na integral de , vamos substituir e, portanto
Isolando , temos
Substituindo e na integral, vamos obter
Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de é dada por
E como , temos
Juntando as duas integrais...
O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊
