UTFPR – Cálculo I – Atividade Avaliativa 3 (AV3) – Parte 1 – 2022.2 – Questão 6.
- Calcule as integrais abaixo:
Dica: Utilize substituição trigonométrica.
Passo 1
Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Partiu resolver mais uma questão pra arrasar na prova?
Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função aí, e dá uma dica pra gente fazer isso. Ele fala pra gente usar substituição trigonométrica. Então vamos seguir esse caminho.
Vamos fazer isso abrindo essa função em frações parciais.
Vem comigo ver como fica.
Passo 2
A integral que precisamos resolver é:
E como o enunciado mesmo falou, vamos usar uma substituição trigonométrica, fazendo:
E nossa integral se torna:
Podemos colocar o 16 em evidência:
E lembrando que
Nossa integral se torna:
Simplificando tudo, teremos:
Fazendo novamente
Que se torna:
E
Finalmente ficamos com:
Agora, basta resolvermos essa integral.
Passo 3
Para resolver a integral teremos
Lembrando que
Resolvendo a primeira integral, teremos:
Agora vamos guardar esse resultado e nos preocupar com a integral de
Passo 4
Para integral
Vamos usar uma substituição simples do tipo
Assim,
E a integral se torna:
Voltando para
Agora vamos encaixar esse resultado na nossa integral maior.
Passo 5
Assim,
Fazendo
Mas precisamos lembrar que nossa integral era em e não em . Então vamos voltar para a variável .
Passo 6
Lembrando que
Mas na solução temos que substituir . Então, lembrando que:
E também que
Então
Show, agora vamos expressar o em função de
Vimos que
Assim
Maravilha.
Passo 7
Agora vamos encaixar tudo isso no resultado da nossa integral
Sendo
E
Simplificando, ficamos com:
E prontinho, depois de tudo isso, esse é o resultado da nossa integral original
😉