USP – Cálculo 2 – P1-N3 – 2021.2, 5
Calcular a integral
a) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de fração parcial, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos
b) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de integral por partes, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos
c) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de substituição de variáveis, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos
d) Na resolução desta integral utilizou-se a técnica de integração por substituição trigonométrica, obtendo-se em uma das passagens de resolução os termos
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente resolver a integral:
Além disso, a gente precisa verificar qual o método utilizar e os termos que aparecem na resolução.
Beleza, a primeira coisa que a gente pode pensar é em tentar usar substituição simples ou uma integração por partes, mas nenhuma delas vai ajudar a gente.
Repara que nós temos um termo . Sempre que a gente tem algo desse tipo, nós podemos usar substituição trigonométrica.
Mas como é que a gente faz isso? No nosso caso, temos , e o nosso é o . Vamos considerar que esse seja sempre um número positivo. Beleza, mas se a gente precisa fazer uma substituição trigonométrica, qual substituição a gente pode fazer?
Cada caso é um caso, e pra cada um a gente tem um tipo de substituição diferente, olha só:
Como o nosso caso é o terceiro, a gente pode usar ou . Vamos escolher , como nosso e temos:
Agora achamos o , derivando o :
E substituímos na integral. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro vamos olhar a substituição só na nossa raiz:
Nós sabemos que , então:
Substituindo na raiz:
Reparou que sumiu a raiz, né? Esse tipo de integração serve justamente pra tirar essa raiz, então fica atento a isso.
Sabemos quem é , quem é a raiz e quem é , agora podemos arrumar tudo na integral.
Passo 3
Da nossa integral:
Temos:
Lembra que o é ? Por isso apareceu esse termo duas vezes ali. Assim,
Colocando a constante do lado de fora da integral:
Agora ficou mais de resolver do que aquela integral original, né? A gente só tem que manipular esse um pouquinho.
Passo 4
Vamos esquecer um pouco a constante que tá ali do lado de fora da integral e tentar resolver separadamente:
Como é uma multiplicação de duas potências, a gente pode escrever:
Vamos tentar chegar num termo equivalente que seja mais fácil de resolver. Qual identidade eu posso usar nesse caso?
Nós sabemos que:
Então,
E aí a gente pode jogar isso na integral:
Vamos elevar ao quadrado e colocar a constante pra fora:
Ainda podemos melhorar esse negócio. Usando a identidade:
No nosso caso, , que é o argumento que tá na função que nós estamos integrando. Então,
Vamos jogar esse resultado na integral:
Agora ficou melhor de resolver, vamos separar essa subtração em duas integrais pra gente enxergar melhor:
Resolvendo as integrais, temos:
Onde é nossa constante de integração, não pode esquecer dela quando tivermos uma integral indefinida.
Multiplicando cada termo por :
Agora só falta substituir na nossa integral do passo 3.
Passo 5
Da nossa integral , temos:
Mas calma que esse ainda não é nosso resultado, porque precisamos voltar pra nossa variável original.
Lembra que no passo definimos ? Agora precisamos descobrir quem é , isolando ele na equação:
A inversa do é o , então:
Substituindo esse valor em , temos:
Agora sim, encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉