Calculeas integrais abaixo

b)

∫ x 3 3 - x 2 d x

Passo 1

Viu um polinômio dividido por uma raiz? Pensa na substituição trigonométrica. Fazemos

x = 3 s e n θ → d u = 3 cos ⁡ θ d θ

3 - x 2 = 3 c o s θ

Substituindo na integral vamos ter então

∫ x 3 3 - x 2 d x = ∫ 3 s e n θ 3 3 c o s θ 3 c o s θ d θ

= 3 3 ∫ s e n 3 θ d θ

Passo 2

Agora chegamos num ponto que vamos precisar aplicar uma substituição simples. Acompanha comigo

3 3 ∫ s e n 2 θ s e n θ d θ

s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

3 3 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ s e n θ   d θ

u = c o s θ → d u = - s e n θ d θ

Aplicando na integral então

∫ x 3 3 - x 2 d x = 3 3 ∫ 1 - u 2 - d u

3 3 ∫ u 2 - 1 d u

3 3 u 3 3 - u + c

Substiuindo o valor inicial de u aqui

3 3 cos 3 ⁡ θ 3 - c o s θ + c

E agora trazendo o valor de θ

3 3 1 3 3 - x 2 3 3 - 3 - x 2 3 + c

Resposta

3 3 1 3 3 - x 2 3 3 - 3 - x 2 3 + c

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 .
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ
Calcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d x
Calcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d x
Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x