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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Calculeas integrais abaixo

b)

∫ x 3 3 - x 2 d x

Passo 1

Viu um polinômio dividido por uma raiz? Pensa na substituição trigonométrica. Fazemos

x = 3 s e n θ → d u = 3 cos ⁡ θ d θ

3 - x 2 = 3 c o s θ

Substituindo na integral vamos ter então

∫ x 3 3 - x 2 d x = ∫ 3 s e n θ 3 3 c o s θ 3 c o s θ d θ

= 3 3 ∫ s e n 3 θ d θ

Passo 2

Agora chegamos num ponto que vamos precisar aplicar uma substituição simples. Acompanha comigo

3 3 ∫ s e n 2 θ s e n θ d θ

s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

3 3 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ s e n θ   d θ

u = c o s θ → d u = - s e n θ d θ

Aplicando na integral então

∫ x 3 3 - x 2 d x = 3 3 ∫ 1 - u 2 - d u

3 3 ∫ u 2 - 1 d u

3 3 u 3 3 - u + c

Substiuindo o valor inicial de u aqui

3 3 cos 3 ⁡ θ 3 - c o s θ + c

E agora trazendo o valor de θ

3 3 1 3 3 - x 2 3 3 - 3 - x 2 3 + c

Resposta

3 3 1 3 3 - x 2 3 3 - 3 - x 2 3 + c

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