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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Substituição Trigonométrica

Calcule a integral abaixo:

∫ 2 x 1 + x 4 d x

Passo 1

Cara de substituição trigonométrica, por conta do denominador com raiz. Escrevemos a relação:

tg 2 ⁡ ( y ) + 1 = sec 2 ⁡ y

Arrumando o denominador como a soma de 1 com um quadrado perfeito:

1 + x 4 = 1 + x 2 2

Passo 2

Substituímos:

x 2 = tg ⁡ ( y )

Derivando ambos os lados para obter a relação entre d x e d y :

2 x   d x = sec 2 ⁡ ( y ) d y

d x = sec 2 ⁡ y d y 2 x

Passo 3

Substituindo tudo:

∫ 2 x 1 + tg 2 ⁡ ( y ) ⋅ sec 2 ⁡ ( y ) d y 2 x  

Arrumando:

∫ sec 2 ⁡ ( y ) 1 + tg 2 ⁡ ( y ) d y  

Pela relação trigonométrica:

∫ sec 2 ⁡ y sec 2 ⁡ y d y  

∫ sec 2 ⁡ y sec ⁡ y d y  

∫ sec ⁡ y d y  

Passo 4

A integral que obtivemos é conhecida:

∫ sec ⁡ y d y   = ln ⁡ sec ⁡ y + tg ⁡ ( y )

Agora precisamos trocar de volta para x . Sabemos que:

tg ⁡ ( y ) = x 2

E portanto:

sec 2 ⁡ y = 1 + tg 2 ⁡ ( y )

sec 2 ⁡ y = 1 + x 4

sec ⁡ y = 1 + x 4

Logo, a integral é:

∫ 2 x 1 + x 4 d x = ln ⁡ | 1 + x 4 + x 2 | + C

Resposta

ln ⁡ | 1 + x 4 + x 2 | + C

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