Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triangulo retângulo.

b) ∫ x x 2 - 3     d x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Geralmente essas integrais são resolvidas por uma substituição trigonométrica, geralmente são:

cos 2 θ ⁡ + sin 2 ⁡ θ = 1

tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

E variantes dessa, o que nos libera uma gama de opções.

Veja que nesse caso temos uma variante x 2 - 3 podemos a partir dela chegar em algo parecido com o que foi dado em cima. Como?

Fatorando o 3:

3 x 2 3 - 1 = 3     x 2 3 - 1

E estamos agora mais próximos de alguma possível substituição e assim o resultado sai fácil fácil

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Se você optou pela substituição com tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , você acertou pois podemos achar alguma substituição com sec 2 ⁡ θ - 1 . Veja:

Façamos:

x 3 = sec ⁡ θ

Um esquema no triangulo retângulo é:

Derivando:

d x = 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ

PS: Anotem essas transformações, vamos usá-las ao final

Assim a nossa integral fica:

∫ 3 sec ⁡ θ 3   sec 2 ⁡ θ - 1   3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ   d θ  

Tirando os termos que se cortam:

∫ 3 sec 2 ⁡ θ   sec 2 ⁡ θ - 1   tan ⁡ θ   d θ  

Como já dito antes, sabemos que sec 2 ⁡ θ - 1 = tan ⁡ θ . Assim:

∫ 3 sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ   tan ⁡ θ   d θ   = ∫ 3 sec 2 ⁡ θ     d θ  

A integral de sec 2 ⁡ θ é tan ⁡ θ , isto é:

∫ 3 sec 2 ⁡ θ = 3 tan ⁡ θ + C

Não podemos esquecer da bendita constante

Passo 3

Lembra da substituição que fizemos:

x 3 = sec ⁡ θ → θ = arcsec ⁡ x 3

Assim:

3 tan ⁡ arcsec ⁡ x 3 + C

Resumindo:

  ∫ x x 2 - 3     d x = 3 tan ⁡ arcsec ⁡ x 3 + C

Eu não disse que seria fácil? !

Resposta

∫ x x 2 - 3     d x = 3 tan ⁡ arcsec ⁡ x 3 + C

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