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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Calcule as integrais definidas abaixo:

∫ - 1 0 t 3 4 - t 2   d t

Passo 1

Ali a gente tem uma raiz com a cara a 2 - t 2 , com a = 2 , por isso a gente pode pensar em usar a substituição trigonométrica:

t = a   s e n   θ = 2   s e n   θ

d t d θ = 2 cos ⁡ θ ∴ d t = 2 cos ⁡ θ   d θ

A integral fica assim:

∫ - π 6 0 ( 2   s e n   θ ) 3 4 - 2   s e n   θ 2 d t = ∫ - π 6 0 ( 2   s e n   θ ) 3 4 - 2   s e n   θ 2 2 cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Vamos reescrever esse integrando para calcular a integral. Lembrando de uma identidade trigonométrica:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ∴ cos 2 ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

Podemos reescrever a integral assim:

∫   8   s e n 3 θ 4 - 4   s e n 2 θ ⋅ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫ 8   s e n 3 θ 4 1 -   s e n 2 θ ⋅ 2 cos ⁡ θ d θ = ∫   8   s e n 3 θ 4 cos 2 ⁡ θ ⋅ 2 cos ⁡ θ d θ

= ∫   8   s e n 3 θ 2 cos ⁡ θ ⋅ 2 cos ⁡ θ d θ = 8 ∫ s e n 3 θ d θ

Passo 3

Agora a gente calcula essa integral. Como temos um seno elevado a um expoente ímpar, a gente vai o reescrever, como um produto, deixando um terminho de seno sozinho, assim

s e n 3 θ = s e n 2 θ   s e n   θ

Aí vamos usar aquela identidade trigonométrica de novo:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ∴ s e n 2 θ = 1 - cos 2 ⁡ θ

Aí o nosso integrando pode ficar assim:

s e n 3 θ = s e n 2 θ   s e n   θ = 1 - cos 2 ⁡ θ   s e n   θ

Substituindo isso na nossa integral:

8 ∫ s e n 3 θ d θ = 8 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ   s e n   θ d θ

Percebe que agora a gente tem uma expressão estranha em cos ⁡ θ , mas temos um seno sozinho ali fofo. Isso é uma dica para usarmos a substituição simples

u = cos ⁡ θ ,     d u d θ = - s e n   θ ∴ d u - 1 = s e n   θ   d θ

∴

8 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ   s e n   θ d θ = 8 ∫ 1 - u 2 d u - 1 = - 8 ∫ 1 - u 2 d u = 8 - u + u 3 3

Voltando para θ :

8 ∫ s e n 3 θ d θ = 8 ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ   s e n   θ d θ = 8 - u + u 3 3 = 8 - cos ⁡ θ + cos 3 ⁡ θ 3

Passo 4

Mas a nossa integral estava em função de t . Então a gente tem que voltar para essa variável. Usamos a substituição:

t = 2   s e n θ ∴ t 2 = s e n   θ ∴ θ = a r c s e n   t 2

Desenhando o triângulo retângulo com esse ângulo θ , que tem t / 2 como seno, e usando Pitágoras para achar o lado que falta:

Daí a gente pode tirar que:

  cos ⁡ θ = 4 - t 2 2

∫ t 3 4 - t 2 d t = 8 ∫ s e n 3 θ d θ = 8 - cos ⁡ θ + cos 3 ⁡ θ 3 = 8 - 4 - t 2 2 + 1 3 4 - t 2 2 3

Passo 5

Mas a gente tinha uma integral definida, né?

∫ - 1 0 t 3 4 - t 2   d t = 8 - 4 - t 2 2 + 1 3 4 - t 2 2 3 - 1 0

Aí nossas continhas ficam:

∫ - 1 0 t 3 4 - t 2   d t = 8 - 4 - 0 2 + 1 3 4 - 0 2 3 + 4 - 1 2 - 1 3 4 - 1 2 3

∫ - 1 0 t 3 4 - t 2   d t = 8 - 2 2 + 1 3 2 2 3 + 3 2 - 1 3 3 2 3 = 8 - 1 + 1 3 + 3 2 - 1 3 ⋅ 3 3 8

∫ - 1 0 t 3 4 - t 2   d t = - 16 3 + 3 3

Resposta

- 16 3 + 3 3

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