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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Questão 1:

Calcule as integrais:

∫ 1 x 2 x 2 - 4 d x

Passo 1

Bem, ao primeiro olhar, tenderíamos resolver integrais como essa fazendo uma substituição

x 2 - 4 = u

o que não ia adianta muita coisa, pois a derivada desse cara não facilita.

Mas não se preocupe, pois outra saída nesse caso é uma substituição mais elaborada. Estou falando dela, a substituição trigonométrica!

Lembrando que

tan 2 ⁡ u = sec 2 ⁡ u - 1

Se chamarmos o x = 2 sec ⁡ u , repare o que acontece...

x 2 - 4 = 2 sec ⁡ u 2 - 4 =

4 sec 2 ⁡ u - 4 = 4 sec 2 ⁡ u - 1 =

4 tan 2 ⁡ u

Uma expressão muito bonita, neh, já que ela “sai” da raiz. Isso é uma indicação eu estamos no caminho certo ;)

Passo 2

Vamos antes de substituir essas expressões na integral, calcular o d x ...

x = 2 sec ⁡ u             →

Derivando...

                d x = 2 sec ⁡ u ⋅ tan ⁡ u   d u

Passo 3

Agora, jogando tudo na integral...

∫ 1 x 2 x 2 - 4 d x = ∫ 1 2 sec ⁡ u 2 4 tan 2 ⁡ u 2 sec ⁡ u ⋅ tan ⁡ u   d u

∫ 1 4 sec 2 ⁡ u ⋅ 2 tan ⁡ u 2 sec ⁡ u ⋅ tan ⁡ u   d u =

1 4 ∫ 1 sec ⁡ u   d u =

Como a secante é o inverso do cosseno o inverso da secante é o cosseno...

1 4 ∫ 1 sec ⁡ u   d u = 1 4 ∫ cos ⁡ u   d u =

1 4 sin ⁡ u + C

Passo 4

Encontramos o resultado a integral, mas agora tem um detalhe, buscamos o resultado em x e não em u . Por isso temos que arranjar uma forma de voltar para a variável x . Vejamos...

x = 2 sec ⁡ u   →     x = 2 ⋅ 1 cos ⁡ u   →

cos ⁡ u = 2 x

O resultado está como seno e não cosseno de u . Mas é fácil resolver isso já que...

sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1       →

sin ⁡ u = 1 - cos 2 ⁡ u   →

sin ⁡ u = 1 - 4 x 2     →

sin ⁡ u = x 2 - 4 x 2     →

sin ⁡ u = x 2 - 4 x

Então...

∫ 1 x 2 x 2 - 4 d x = 1 4 x 2 - 4 x + C

Resposta

x 2 - 4 4 x + C

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