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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 3.7a

3.7. Agora resolva estas daqui:

(a) ∫ s e n 7 x cos ⁡ 5 x d x

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nosso objetivo nesse problema é obter a integral da função f x = s e n 7 x cos ⁡ 5 x .

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para nos ajudar nos cálculos, temos que aplicar alguma identidade trigonométrica pra simplificar a nossa função de integração.

No caso, a identidade é dada por

s e n a cos ⁡ b = s e n a + b + s e n a - b 2

Sacou? Bora ver como fica no nosso caso! 😉

Passo 2

Aplicando a identidade na nossa função...

f x = s e n 7 x cos ⁡ 5 x = s e n 7 x + 5 x + s e n 7 x - 5 x 2

f x = s e n 12 x + s e n 2 x 2

Portanto, aplicando a integral nessa função...

∫ s e n 7 x cos ⁡ 5 x d x = ∫ s e n 12 x + s e n 2 x 2 d x

1 2 ∫ s e n 12 x + s e n 2 x d x

1 2 ∫ s e n 12 x d x + ∫ s e n 2 x d x

Pelo método de substituição, fazendo u = 12 x e d x = 1 12 d u , a integral de s e n 12 x é dada por

∫ s e n 12 x d x → ∫ s e n u 1 12 d u

∫ s e n u 1 12 d u = - 1 12 cos ⁡ u

Agora fazendo v = 2 x temos d x = 1 2 d v , a integral de s e n 2 x é dada por

∫ s e n 2 x d x → ∫ s e n v 1 2 d v

∫ s e n v 1 2 d v = - 1 2 cos ⁡ v

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Substituindo as integrais de s e n 12 x e s e n 2 x na integral do problema, vamos obter

∫ s e n 7 x cos ⁡ 5 x d x = 1 2 ∫ s e n 12 x d x + ∫ s e n 2 x d x

∫ s e n 7 x cos ⁡ 5 x d x = 1 2 - 1 12 cos ⁡ u + - 1 2 cos ⁡ v

Simplificando e voltando u para 12 x e v para 2 x ...

∫ s e n 7 x cos ⁡ 5 x d x = 1 2 - 1 12 cos ⁡ 12 x + - 1 2 cos ⁡ 2 x

∫ s e n 7 x cos ⁡ 5 x d x = - 1 24 cos ⁡ 12 x - 1 4 cos ⁡ 2 x + C

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ s e n 7 x cos ⁡ 5 x d x = - 1 24 cos ⁡ 12 x - 1 4 cos ⁡ 2 x + C

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