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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Passo 1

Inicialmente, precisamos encontrar qual caso de substituição se aplica na nossa integral

x 2 - 16

Repare que está no mesmo formato de

x 2 - a 2

Nesse caso

x = a sec ⁡ θ

Então teremos

x = 4 sec ⁡ θ

Passo 2

A próxima coisa a se fazer é encontrar d x , derivando

x = 4 sec ⁡ θ

d x = 4 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora precisamos substituir x   e d x na nossa integral.

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = ∫ 3 4 sec ⁡ θ - 1 16 sec 2 ⁡ θ - 16   4 tan ⁡ θ sec ⁡ θ   d θ

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = ∫ 12 sec ⁡ θ - 1 16 ( sec 2 ⁡ θ - 1 )   4 tan ⁡ θ sec ⁡ θ   d θ

Vamos fazer a substituição sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = ∫ 12 sec ⁡ θ - 1 16 tan 2 ⁡ θ   4 tan ⁡ θ sec ⁡ θ   d θ

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = ∫ 12 sec ⁡ θ - 1 4 tan ⁡ θ   4 tan ⁡ θ sec ⁡ θ   d θ

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = ∫ ( 12 sec ⁡ θ - 1 )   sec ⁡ θ   d θ

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = 12 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ - ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 4

O próximo passo é resolver a integral

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = 12 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ - ∫ sec ⁡ θ d θ

∫ sec 2 ⁡ θ d θ = tan ⁡ θ

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = 12 tan ⁡ θ - ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Passo 5

Mas não podemos dar a resposta em função de θ , precisamos voltar para x . Para isso vamos precisar do triângulo retângulo. Sabemos que

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = x 4

Então

Usando Pitágoras podemos encontrar o cateto oposto

x 2 = 16 + h 2

h = x 2 - 16

Com isso, encontramos

tan ⁡ θ = x 2 - 16 4

Substituindo na nossa integral

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = 12 x 2 - 16 4 - ln ⁡ x 2 - 16 4 + x 4

∫ 3 x - 1 x 2 - 16 d x = 3 x 2 - 16 - ln ⁡ x 2 - 16 + x + C

Resposta

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