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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Prova Cálculo B MAT1158 P2

Calcule a integral

∫ x 2 4 - x 2 d x

Passo 1

Vamos rever algumas coisas. A primeira dela é a integração por partes. Então será que vocês aprenderam a regra do L I A T E ?

L ogaritimo, I nversa trigonométrica, A lgebrica, T rigonométrica, E xponencial

Essa é a ordem para escolhemos a variável u em nossa relação de integração por partes que é dada por

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v   d u

Passo 2

Olhe bem para essa integral. Olhe muito bem. Pois ela é uam integral que aparece bastante em nossos exercícios. Agora que você olhou, repare que sempre vamos fazer as mesmas substituições.

Vamos escrever

x = 2 sen ⁡ ( t ) → d x = 2 cos ⁡ ( t )   d t

Assim nossa função se transforma em

x 2 4 - x 2 d x = 4   s e n 2 t 4 - 4   s e n 2 t 2 cos ⁡ t d t = 4   s e n 2 t cos ⁡ t ( 1 - s e n 2 t d t

E lembrando que

cos 2 ⁡ t   s e n 2 t = 1

4   s e n 2 t cos ⁡ t ( 1 - s e n 2 t d t = 4 s e n 2 t cos ⁡ t cos ⁡ t d t = 4   s e n 2 t d t

Passo 3

Ainda não estamos pronto para integrar. Calma lá amiguinhos.

Vamos usar uma pequena relação trigonométrica para melhorar a cara da nossa função, então

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n   a   s e n   b

Então

cos ⁡ 2 t = cos 2 ⁡ t - s e n 2 t

E usando que

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Temos que

s e n 2 t = 1 2 1 - cos ⁡ 2 t

Ou seja

4   s e n 2 t d t = 2 1 - cos ⁡ 2 t

E agora estamos pronto para integrar

Passo 4

Logo temos

∫ x 2 4 - x 2 d x = ∫ 2 1 - cos ⁡ 2 t d t = 2 ∫ d t - 2 ∫ cos ⁡ 2 t d t

Primeira integral, polinômio, enquanto a segunda a integral se cosseno é o seno

2 ∫ d t - 2 ∫ cos ⁡ 2 t d t = 2 t - s e n 2 t

Voltando nossa variável, temos que

x = 2   s e n t → t = a r c s e n   x 2

Logo, sem matar o gatinho, temos

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2   a r c s e n x 2 - s e n 2 a r c s e n x 2 + C

Resposta

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2   a r c s e n x 2 - s e n 2 a r c s e n x 2 + C

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Calcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d x