UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 1 – Alternativa s)
Calcule:
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Para esta questão vamos ter que utilizar uma substituição trigonométrica, belezinha? Portanto precisamos identificar qual o caso e a substituição conveniente, e após simplificar e resolver a integral devemos montar o esquema do triângulo retângulo para voltar as variáveis originais! Bora tentar fazer isso. Belezinha?
Passo 2
Para começar vamos reescrever um pouco o nosso integrando! Podemos evidenciar alguns termos no denominador! Saca só:
A integral que restou pode ser resolvida através de uma substituição trigonométrica! Vamos com calma Hehehehe!
Passo 3
O caso que temos é da forma:
Em que . Portanto, é conveniente escolher:
Portanto, a nossa integral toma a forma:
Resumindo, temos a seguinte integral:
Vamos continuar simplificando-a, okay? Bora lá!
Passo 4
Temos a seguinte relação trigonométrica:
Portanto, a nossa integral toma a seguinte forma:
Vamos precisar trabalhar isso aqui um pouco mais! Beleza?
Passo 5
Vamos utilizar a relação trigonométrica:
De forma que nossa integral toma a forma:
Mas como podemos resolver isso? Saca só!
Passo 6
Temos que utilizar a seguinte relação de redução para a função , saca só:
Usando , temos:
Ou seja, nossa integral tem a forma:
Reescrevendo um pouco e juntando os termos iguais, temos:
Agora nós temos condições de resolver!! Bora lá!
Passo 7
A nossa integral restante tem como primitiva:
E, portanto, temos como resultado:
Ainda precisamos voltar para a variável original! Bora fazer isso!
Passo 8
Lembrando que no começo colocamos , e que:
Usando Pitágoras podemos obter:
De forma que, se lembrarmos que:
Nosso resultado toma a seguinte forma:
Aí está a nossa alternativa! Pronto para a próxima? Te vejo jajá hein!!