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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFSC – Cálculo 2 – Prof. Dr. Romulo Castillo – P2 – 2014/2

1) Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponda:

b) ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1 d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1 d x .

Sempre que a gente encontra uma raiz tipo x 2 + a 2 ,   x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 usamos substituição trigonométrica. Pra cada caso usamos:

x 2 + a 2 → x = a tan ⁡ θ

x 2 - a 2 → x = a sec ⁡ θ

a 2 - x 2 → x = a sen ⁡ θ   o u   x = a cos ⁡ θ

Passo 2

Aplicando substituição trigonométrica, já que temos x 2 + 1 :

x = tan ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

E a integral fica:

  ∫ 5 x + 4 x 3 x 2 + 1 d x =   ∫ 5 tan ⁡ θ + 4 tan 3 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 5 tan ��� θ + 4 tan 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 5 tan ⁡ θ + 4 tan 3 ⁡ θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 5 tan ⁡ θ + 4 tan 3 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ 5 tan ⁡ θ sec ⁡ θ + 4 sec ⁡ θ tan 3 ⁡ θ d θ

= 5 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ + 4 ∫ sec ⁡ θ tan 3 ⁡ θ d θ

Passo 3

Pra primeira integral, lembrando que sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ e que tan ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ :

∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ d θ

= ∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ

Usando substituição simples:

u = sen ⁡ θ

d u = cos ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ cos ⁡ θ sen 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 u 2 d u

= u - 1 - 1

= - 1 u

Voltando pro seno:

= - 1 sen ⁡ θ

Voltando pra x :

x = tan ⁡ θ → θ = arctan ⁡ x

= - 1 + x 2 x

Passo 4

Pra segunda integral:

∫ sec ⁡ θ tan 3 ⁡ θ d θ = ∫ 1 cos ⁡ θ sen 3 ⁡ θ cos 3 ⁡ θ d θ

= ∫ cos 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ d θ

= ∫ 1 - sen 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ d θ

= ∫ 1 sen 3 ⁡ θ d θ - ∫ sen 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ θ d θ

= ∫ 1 sen 3 ⁡ θ d θ - ∫ 1 sen ⁡ θ d θ

= 1 8 - cot 2 ⁡ θ 2 + 4 ln ⁡ tan ⁡ θ 2 + tan 2 ⁡ θ 2 - ln ⁡ tan ⁡ θ 2

Voltando pra x :

x = tan ⁡ θ → θ = arctan ⁡ x

= 1 8 - cot 2 ⁡ arctan ⁡ x 2 + 4 ln ⁡ tan ⁡ arctan ⁡ x 2 + tan 2 ⁡ arctan ⁡ x 2 - ln ⁡ tan ⁡ arctan ⁡ x 2

= 1 8 - cot 2 ⁡ arctan ⁡ x 2 - 4 ln ⁡ tan ⁡ arctan ⁡ x 2 + tan 2 ⁡ arctan ⁡ x 2

Agora só falta substituir tuuudo na equação do final do passo 2:

= 5 ∫ sec ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ + 4 ∫ sec ⁡ θ tan 3 ⁡ θ d θ

= 5 - 1 + x 2 x + 4 1 8 - cot 2 ⁡ arctan ⁡ x 2 - 4 ln ⁡ tan ⁡ arctan ⁡ x 2 + tan 2 ⁡ arctan ⁡ x 2

= - 5 1 + x 2 x + 1 2 tan 2 ⁡ arctan ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ tan ⁡ arctan ⁡ x 2 - 1 2 cot 2 ⁡ arctan ⁡ x 2 + C

Resposta

- 5 1 + x 2 x + 1 2 tan 2 ⁡ arctan ⁡ x 2 - 2 ln ⁡ tan ⁡ arctan ⁡ x 2 - 1 2 cot 2 ⁡ arctan ⁡ x 2 + C

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