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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Substituição Trigonométrica

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

a ∫ x 5 3 + x 2 d x

Passo 1

Tá, essa raiz quadrada com x 2 somado a constante é um indicador direto do método da Substituição Trigonométrica. Essa caso, pela nossa tabelinha da teoria, seria o da Tangente.

x = a tg ⁡ ( θ ) → d x = a sec 2 ⁡ ( θ ) d θ ; a = 3

∫ x 5 3 + x 2 d x = ∫ 3 tg ⁡ θ 5 3 + 3 tg ⁡ θ 2 3 sec 2 ⁡ θ d θ

= 3 5 3 ∫ tg ⁡ θ 5 3 + 3 tg 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= 3 3 ∫ tg ⁡ θ 5 3 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= 27 ∫ tg ⁡ θ 5 3 sec ⁡ ( θ ) sec 2 ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ tg ⁡ θ 5 sec ⁡ θ d θ

Passo 2

Bom, e para resolver essa integral trigonométrica aqui? Na teoria dessas integrais a gente coloca esse caso aqui como sendo o caso 5 , onde a integral tem tangente com expoente ímpar. Nessa situação, vamos guardar um tg ⁡ θ . sec ⁡ θ , que é derivada da secante, e abrir o resto das tangentes em secantes:

9 3 ∫ tg ⁡ θ 4 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 2 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ 1 - 2 sec 2 ⁡ θ + sec 4 ⁡ θ tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

u = sec ⁡ ( θ ) → d u = tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= 9 3 ∫ 1 - 2 u 2 + u 4 d u = 9 3 u - 2 u 3 3 + u 5 5

= 9 3 sec ⁡ ( θ ) - 2 sec ⁡ θ 3 3 + sec ⁡ θ 5 5

Passo 3

Bom, agora trazemos aquele triângulo maroto para des-substituir o θ para x , lembrando que lá em cima tínhamos tg ⁡ ( θ ) = x 3 :

A partir dele, sec ⁡ ( θ ) = x 2 + 3 3 . Substituindo isso no reultado:

9 3 x 2 + 3 3 - 2 x 2 + 3 3 3 3 + x 2 + 3 3 5 5

= 9 x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 3 + x 2 + 3 5 5 + C

Resposta

∫ x 5 3 + x 2 d x = 9 x 2 + 3 - 2 x 2 + 3 3 + x 2 + 3 5 5 + C

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