UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 4.2
4.2. Explique como você resolve uma integral do tipo
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, nosso objetivo é explicar como podemos resolver uma integral do tipo
Onde e são constantes quaisquer.
E aí, tem ideia do que podemos fazer? 🤔
Perceba que as funções senos e cossenos resultam na derivada entre elas, ou seja
Podemos usar essas características para aplicar o método de substituição .
Mas pra isso, temos que obter uma simplificação da função.
Bora ver como fazemos? 👀
Passo 2
Para resolver a integral , onde e são constantes, podemos utilizar a técnica de substituição trigonométrica.
Existem diferentes casos possíveis que dependendo dos valores de e podemos aplicar na resolução da integral.
Caso seja um número inteiro positivo ímpar, fazemos a substituição trigonométrica .
Caso seja um número inteiro positivo ímpar, fazemos a substituição trigonométrica . Essas mudanças nos permitem transformar a integral em uma forma mais manejável.
Mas caso e sejam números inteiros positivos pares ou zero, não podemos aplicar diretamente a técnica de substituição trigonométrica. No entanto, podemos usar identidades trigonométricas para simplificar a integral antes de resolvê-la.
Tranquilo até aqui? 😎
Passo 3
Por exemplo, se tivermos
Neste caso, temos e . Como é um número ímpar, podemos fazer a substituição trigonométrica . Substituindo, obtemos:
Agora, fazemos a substituição e, portanto, . A integral se torna:
Bem mais fácil, não é? 😁
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Por substituição trigonométrica e pelo método de substituição