Determine a integral indefinida abaixo.
Passo 1
Bem, não dá para resolver essa integral de cara por nenhuma primitiva fundamental e nem mesmo há uma substituição clara. Mas, como temos um termo na forma , que é justamente , podemos usar a substituição trigonométrica.
Passo 2
Fazendo a substituição:
Temos, simplificando:
Como:
Então:
Substituindo, conseguimos simplificar ainda mais:
Passo 3
Vamos resolver essa nova integral agora. Bem, do cosseno ao quadrado, podemos tirar que:
Assim, teremos:
Uma vez que:
Com a substituição simples e :
Onde:
Ficando:
Passo 4
Repare que para chegarmos até aqui, usamos pelo menos duas identidades trigonométricas, uma para a secante e outra para o cosseno ao quadrado. Assim, é bom ter elas sempre em mente na hora da prova!
Apesar do discurso, a questão ainda não acabou. Precisamos retornar a variável do problema, o . Para tal, temos que encontrar e e .
Da derivação de , temos:
Logo:
Encontramos , vamos ao seno agora. Da última parte, temos:
Já o , da identidade fundamental trigonométrica:
Passo 5
Agora já temos o que precisamos para retornar a :
Se quisermos juntar tudo, temos que:
Ficando:
Pronto!