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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

∫ 0 1 / 2 d x 1 - x 2 1 - x 2 é igual a:

  1. 1 3
  2. 1 2
  3. 1 3
  4. 3

Passo 1

Rearranjar a integral

Essa integral tem um denominador com dois termos muito parecidos dentro que da uma vontade enorme de relacionar. Da uma olhada nisso:

1 - x 2 = 1 - x 2 1 2  

1 - x 2 = 1 - x 2 2 2

1 - x 2 1 - x 2 = 1 - x 2 2 2 1 - x 2 1 2 = 1 - x 2 3 2

Opa, agora podemos simplificar a nossa integral um pouco:

∫ 0 1 / 2 d x 1 - x 2 3 2

Vamos agora buscar alguma forma de tirar o expoente fracionário!

Passo 2

Resolvendo uma substituição trigonométrica.

Vamos lembrar da relação trigonométrica mais importante de todas:

s i n 2 θ + c o s 2 θ = 1

E vamos tentar dar uma mexidinha nela pra ela se parecer com nossa integral, beleza? A começar, passando o seno pro outro lado:

c o s 2 θ = 1 - s i n 2 θ

E depois, elevando tudo à 3 2

c o s 2 θ 3 2 = 1 - s i n 2 θ 3 2

c o s 3 θ = 1 - s i n 2 θ 3 2

Elevando agora tudo à - 1 , vamos ter:

1 c o s 3 θ = 1 1 - s i n 2 θ 3 2

Eita, agora ficou um pouco semelhante não? No interior da nossa integral tínhamos:

1 1 - x 2 3 2

Para que:

1 1 - x 2 3 2 = 1 1 - s i n 2 θ 3 2

Seja verdade, a substituição que temos que fazer vai ser:

x = sin ⁡ θ → d x = cos ⁡ θ d θ

Beleeeza, jogando na integral a substituição, ficamos com:

∫ d x 1 - x 2 3 2 =   ∫ cos ⁡ θ d θ c o s 3 θ =   ∫ d θ c o s 2 θ =   ∫ s e c 2 θ d θ  

E essa última integral tem resolução direta:

∫ s e c 2 θ d θ = tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ = sin ⁡ θ 1 - s i n 2 θ

E como a substituição era:

x = sin ⁡ θ

Então fechamos com:

∫ d x 1 - x 2 1 - x 2 = x 1 - x 2

Passo 3

Aplicando os limites de integração

Agora não tem mistério, só precisamos aplicar os limites de integração mesmo. Vamo que vamo:

∫ 0 1 2 d x 1 - x 2 1 - x 2 = x 1 - x 2 x = 0 x = 1 2 = 1 2 1 - 1 4 = 1 3

x 1 - x 2 x = 0 x = 1 2 = 1 2 1 - 1 2 2 - 0 1 - 0 2 = 1 2 1 - 1 4

1 2 4 4 - 1 4 = 1 2 3 4 = 1 2 3 2 = 1 2 2 3 = 1 3

Fechamos a questão então!

Resposta

L e t r a   C

∫ 0 1 2 d x 1 - x 2 1 - x 2 = 1 3

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