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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Integração por Substituição Trigonométrica

Calcule:

b   ∫ 2 2 4 1 x x 2 - 4 d x

Passo 1

Nesse cara aqui a gente tem ali um termo muito característico para a substituição trigonométrica. Essa raiz dada por x 2 - 4 lembra o formato x 2 - a 2 , que pede a substituição da secante:

x = a sec ⁡ θ = 2 sec ⁡ θ → d x = 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Temos que mudar os valores dos limites de integração:

x i n f = 2 2 = 2 sec ⁡ θ ; sec ⁡ θ = 2 → θ i n f = π 4

x s u p = 4 = 2 sec ⁡ θ ; sec ⁡ θ = 2 → θ s u p = π 3

∫ 2 2 4 1 x x 2 - 4 d x = ∫ π 4 π 3 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ 2 sec ⁡ θ 2 sec ⁡ θ 2 - 4

= ∫ π 4 π 3 tg ⁡ θ d θ 4 tg 2 ⁡ θ = ∫ π 4 π 3 tg ⁡ θ d θ 2 | tg ⁡ θ |

Bom, como entre π 3 e π 4 a tangente é positiva, tg ⁡ θ = tg ⁡ θ :

∫ π 4 π 3 tg ⁡ θ d θ 2 tg ⁡ θ = ∫ π 4 π 3 d θ 2

= θ 2 [ π / 3 π / 4

= 1 2 π 3 - π 4 = π 24

Resposta

∫ 2 2 4 1 x x 2 - 4 d x = π 24

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