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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 4.4

4.4. Calcule ∫ cos 2 ⁡ x tan 3 ⁡ x d x .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão nosso objetivo é obter a integral da função f x = cos 2 ⁡ x tan 3 ⁡ x .

Parece simples, não é? 😎

Para começar nossos cálculos, vamos aplicar uma relação trigonométrica na tan ⁡ x

tan ⁡ x = s e n x cos ⁡ x

Bora começar! 😉

Passo 2

Aplicando essa substituição na nossa integral, temos

∫ cos 2 ⁡ x tan 3 ⁡ x d x → ∫ cos 2 ⁡ x s e n x cos ⁡ x 3 d x

∫ cos 2 ⁡ x s e n 3 x cos 3 ⁡ x d x

∫ s e n 3 x cos ⁡ x d x

Reescrevendo s e n 3 x como s e n 2 x s e n x podemos aplicar a relação s e n 2 x = 1 - cos 2 ⁡ x ...

∫ s e n 3 x cos ⁡ x d x = ∫ s e n 2 x s e n x cos ⁡ x d x

∫ 1 - cos 2 ⁡ x s e n x cos ⁡ x d x

Assim, aplicando o método de substituição fazendo u = cos ⁡ x e consequentemente d u d x = - s e n x → d x = - 1 s e n x d u

∫ 1 - cos 2 ⁡ x s e n x cos ⁡ x d x → ∫ 1 - u 2 s e n x u - 1 s e n x d u

∫ u 2 - 1 u d u

Separando as frações...

∫ u 2 - 1 u d u = ∫ u d u - ∫ 1 u d u

Calculando as integrais...

∫ u d u = u 2 2

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Substituindo no problema

∫ u 2 - 1 u d u = u 2 2 - ln ⁡ u + C

E por fim, voltando u para cos ⁡ x , vamos obter

∫ cos 2 ⁡ x tan 3 ⁡ x d x = c o s 2 x 2 - ln ⁡ cos ⁡ x + C

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ cos 2 ⁡ x tan 3 ⁡ x d x = c o s 2 x 2 - ln ⁡ cos ⁡ x + C

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