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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 9 – Técnicas de Integração I – Questão 6 – Alternativa d)

Calcule:

d )   ∫ sin ⁡ ( x ) cos 4 ⁡ ( 5 x ) d x

Passo 1

Vamos tirar mais uma do caminho! Hehehe!

Para resolver esta questão vamos precisar utilizar diversas identidades trigonométricas! Vamos começar com o seguinte:

sin ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 sin ⁡ ( a + b ) + sin ⁡ ( a - b )         ( 1 )

Temos então que:

∫ sin ⁡ x cos 4 ⁡ 5 x d x = ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x cos 3 ⁡ 5 x d x = →

→ = ∫ 1 2 sin ⁡ 6 x + sin ⁡ - 4 x cos 3 ⁡ 5 x d x = ∫ 1 2 sin ⁡ 6 x - sin ⁡ 4 x cos 3 ⁡ 5 x d x

Aqui usei também que sin ⁡ - a x = - sin ⁡ ( a x ) . Podemos agora utilizar a equação (1) sucessivamente, bora lá!

Passo 2

Temos que:

∫ 1 2 sin ⁡ 6 x - sin ⁡ 4 x cos 3 ⁡ 5 x d x = →

→ = 1 2 ∫ sin ⁡ ( 6 x ) cos ⁡ ( 5 x ) cos 2 ⁡ ( 5 x ) d x - 1 2 ∫ sin ⁡ ( 4 x ) cos ⁡ ( 5 x ) cos 2 ⁡ ( 5 x ) d x

Utilizando a equação (1), temos:

1 2 ∫ sin ⁡ 6 x cos ⁡ 5 x cos 2 ⁡ 5 x d x - 1 2 ∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 5 x cos 2 ⁡ 5 x d x = →

→   = 1 4 ∫ sin ⁡ 11 x + sin ⁡ x cos 2 ⁡ ( 5 x ) d x - 1 4 ∫ sin ⁡ 9 x + sin ⁡ - x cos 2 ⁡ 5 x d x = →

→   = 1 4 ∫ sin ⁡ 11 x + sin ⁡ x cos 2 ⁡ ( 5 x ) d x - 1 4 ∫ sin ⁡ 9 x - sin ⁡ x cos 2 ⁡ 5 x d x

Vamos repetir o processo mais uma vez! Aguenta firme aí!!

Passo 3

Distribuindo novamente, temos: e aplicando novamente a equação (1), temos:

1 4 ∫ sin ⁡ 11 x + sin ⁡ x cos 2 ⁡ ( 5 x ) d x - 1 4 ∫ sin ⁡ 9 x - sin ⁡ x cos 2 ⁡ 5 x d x = →

→ = 1 4 ∫ sin ⁡ 11 x cos ⁡ 5 x cos ⁡ 5 x d x + 1 4 ∫ sin ⁡ x cos ⁡ 5 x cos ⁡ 5 x d x + →

→ - 1 4 ∫ sin ⁡ 9 x cos ⁡ 5 x cos ⁡ 5 x d x + 1 4 ∫ sin ⁡ x cos ⁡ 5 x cos ⁡ 5 x d x = →

Aplicando a equação (1):

→ = 1 8 ∫ sin ⁡ 16 x + sin ⁡ 6 x cos ⁡ 5 x d x + 1 8 ∫ sin ⁡ 6 x + sin ⁡ - 4 x cos ⁡ 5 x d x + →

→ - 1 8 ∫ sin ⁡ 14 x + sin ⁡ 4 x cos ⁡ 5 x d x + 1 8 ∫ sin ⁡ 6 x + sin ⁡ - 4 x cos ⁡ 5 x d x = →

→ = 1 8 ∫ sin ⁡ 16 x + sin ⁡ 6 x cos ⁡ 5 x d x + 1 8 ∫ sin ⁡ 6 x - sin ⁡ 4 x cos ⁡ 5 x d x + →

→ - 1 8 ∫ sin ⁡ 14 x + sin ⁡ 4 x cos ⁡ 5 x d x + 1 8 ∫ sin ⁡ 6 x - sin ⁡ 4 x cos ⁡ 5 x d x = →

Por sorte podemos juntar dois termos em um só! E ficamos com:

→ = 1 8 ∫ sin ⁡ 16 x + sin ⁡ 6 x cos ⁡ 5 x d x + 1 4 ∫ sin ⁡ 6 x - sin ⁡ 4 x cos ⁡ 5 x d x + →

→ - 1 8 ∫ sin ⁡ 14 x + sin ⁡ 4 x cos ⁡ 5 x d x

Acho que você percebeu o que teremos que fazer depois, não é? Bora lá!

Passo 4

Distribuindo temos que:

1 8 ∫ sin ⁡ ( 16 x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x + 1 8 ∫ sin ⁡ ( 6 x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x + 1 4 ∫ sin ⁡ ( 6 x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x + →

→ - 1 4 ∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 5 x d x - 1 8 ∫ sin ⁡ 14 x cos ⁡ 5 x d x - 1 8 ∫ sin ⁡ ( 4 x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x

Juntando alguns termos, temos:

1 8 ∫ sin ⁡ ( 16 x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x + 3 8 ∫ sin ⁡ ( 6 x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x - 3 8 ∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 5 x d x + →

→ - 1 8 ∫ sin ⁡ ( 14 x ) cos ⁡ ( 5 x ) d x

Aplicando a equação (1) temos:

1 16 ∫ sin ⁡ 21 x + sin ⁡ 11 x d x + 3 16 ∫ sin ⁡ 11 x - sin ⁡ x d x - 3 16 ∫ sin ⁡ 9 x - sin ⁡ - x d x + →

- 1 16 ∫ ( sin ⁡ ( 19 x ) + sin ⁡ ( 9 x ) ) d x

Podemos juntar algumas coisinhas! Obtendo:

1 16 ∫ sin ⁡ ( 21 x ) d x + 1 4 ∫ sin ⁡ ( 11 x ) d x - 3 8 ∫ sin ⁡ x d x - 1 4 ∫ sin ⁡ 9 x d x - 1 16 ∫ sin ⁡ ( 19 x ) d x

Uff... depois disso tudo...

Passo 5

Vamos usar:

∫ sin ⁡ ( a x ) = - cos ⁡ ( a x ) a + C

Obtendo:

- 1 336 cos ⁡ 21 x - 1 44 cos ⁡ 11 x + 3 8 cos ⁡ x + 1 36 cos ⁡ 9 x + 1 304 cos ⁡ 19 x + C

ACABOU!!! Vamos que vamos para a próxima! Hehehehe

Resposta

∫ sin ⁡ x cos 4 ⁡ 5 x d x = →

→ = - 1 336 cos ⁡ 21 x - 1 44 cos ⁡ 11 x + 3 8 cos ⁡ x + 1 36 cos ⁡ 9 x + 1 304 cos ⁡ 19 x + C

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