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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Calcule a seguinte integral:

∫ 1 - x 2 x d x

Passo 1

O termo 1 - x 2 vai ser a nossa deixa pra usar uma substituição trigonométrica. Mais especificamente, a substituição

x = cos ⁡ θ ⇒ d x = - sen ⁡ θ d θ

Assim:

1 - x 2 = 1 - cos 2 ⁡ θ = sen 2 ⁡ θ = sen ⁡ θ

Daí a integral vai ficar:

∫ sen ⁡ θ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ d θ = - ∫ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Vamos escrever essa integral assim:

- ∫ sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = - ∫ 1 - cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

O que vai dar:

- ∫ 1 cos ⁡ θ d θ + ∫ cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = - ∫ sec ⁡ θ d θ + ∫ cos ⁡ θ d θ

= - ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + sen ⁡ θ + C

Passo 3

Mas ainda temos que voltar pra variável x . Temos que

x 1 = x = cos ⁡ θ = C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

Montando o nosso triângulo retângulo:

Daí podemos ver que

sen ⁡ θ = 1 - x 2 1 = 1 - x 2

⇒ tg ⁡ θ = 1 - x 2 x

E a secante é:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 x

Passo 4

Show, então juntando tudo, a integral vai dar:

- ln ⁡ 1 x + 1 - x 2 x + 1 - x 2 + C

= 1 - x 2 - ln ⁡ 1 + 1 - x 2 x + C

Resposta

1 - x 2 - ln ⁡ 1 + 1 - x 2 x + C

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