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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

Passo 1

Esse caso tem cara de integração por substituição trigonométrica. Perceba que

4 - x 2

Está no mesmo formato que

a 2 - x 2

Então

a = 2

E nesse caso a substituição adequada é

x = 2 sen ⁡ θ

Passo 2

O próximo passo é derivar nosso x

x = 2 sen ⁡ θ

d x = 2 cos ⁡ θ d θ

E aplicar tudo na nossa integral

∫ x 2 4 - x 2 d x = ∫ 4 sen 2 ⁡ θ 4 - 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Melhorando nossa expressão vamos ficar com

∫ x 2 4 - x 2 d x = ∫ 4 sen 2 ⁡ θ 4 ( 1 - sen 2 ⁡ θ ) 2 cos ⁡ θ d θ

Utilizando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

∫ x 2 4 - x 2 d x = ∫ 4 sen 2 ⁡ θ 4 ( cos 2 ⁡ θ ) 2 cos ⁡ θ d θ

∫ x 2 4 - x 2 d x = ∫ 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

∫ x 2 4 - x 2 d x = ∫ 4 sen 2 ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ d θ

∫ x 2 4 - x 2 d x = 4 ∫ sen 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos lançar mão de outra identidade.

sen 2 ⁡ θ = 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2

Então ficamos com

∫ x 2 4 - x 2 d x = 4 ∫ sen 2 ⁡ θ d θ

∫ x 2 4 - x 2 d x = 4 2 ∫ d θ - ∫ cos ⁡ ( 2 θ )   d θ

E resolvendo as integrais, nossa expressão será

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2 θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Passo 5

Agora temos que desfazer a substituição trigonométrica. Se pensarmos no triângulo retângulo.

Podemos encontrar o outro cateto usando Pitágoras.

2 2 = x 2 + h 2

h = 4 - x 2

Daí temos que

sen ⁡ θ = x 2   , cos ⁡ θ = 4 - x 2 2 ,   θ = arcsen ⁡ x 2

Substituindo na expressão

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2 θ - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2 arcsen ⁡ x 2 - 2 x 2 4 - x 2 2

∫ x 2 4 - x 2 d x = 2 arcsen ⁡ x 2 - x 4 - x 2 2

Passo 6

Por fim, só falta aplicar os limites de integração

∫ 0 1 x 2 4 - x 2 d x = 2 arcsen ⁡ x 2 - 2 x 2 4 - x 2 2

∫ 0 1 x 2 4 - x 2 d x = 2 arcsen ⁡ 1 2 - 4 - 1 2 2 - 2 arcsen ⁡ 0 2 + 0

∫ 0 1 x 2 4 - x 2 d x = 2 π 6 - 3 2

∫ 0 1 x 2 4 - x 2 d x = π 3 - 3 2

Fim!

Resposta

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