Calcule:

v )   ∫ 0 π cos ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 8 x ) d x

Passo 1

Oiiie, no ânimo para matar mais uma questão?

Aqui devemos calcular uma integral definida de um produto de cossenos, dada por:

∫ 0 π cos ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 8 x ) d x

Puts, mas esses cossenos possuem argumentos diferentes, não tem uma primitiva tabelada pra esse caso. Como podemos fazer?

Aqui nós teremos que utilizar uma identidade trigonométrica que nos permite escrever o integrando em termos da soma de cossenos. É a famosa transformação de soma em produto (e vice-versa). Segundo ela, temos que:

cos ⁡ ( a ) cos ⁡ ( b ) = 1 2 cos ⁡ ( a + b ) + cos ⁡ ( a - b )

Assim, podemos escrever que:

cos ⁡ 8 x cos ⁡ 3 x = 1 2 cos ⁡ 8 x + 3 x + cos ⁡ 8 x - 3 x

Ou seja:

cos ⁡ 8 x cos ⁡ 3 x = 1 2 ⋅ cos ⁡ 11 x + cos ⁡ 5 x

Massa!! Conseguimos transformar o nosso produto de cossenos em uma soma, o que é muito mais fácil de trabalhar em uma integral, certo? 😊

Passo 2

Assim, podemos reescrever o nosso integrando como:

∫ 0 π cos ⁡ 3 x cos ⁡ 8 x d x = 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ 11 x + cos ⁡ 5 x d x

= 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ ( 11 x ) d x + 1 2 ∫ 0 π cos ⁡ ( 5 x ) d x

Vamos identificar nossas primitivas? Bora lá!

Sabemos que:

∫ c o s ⁡ ( n x ) = 1 n s e n n x + C

Lembrando que nesse caso a integral é definida, e substituindo n = 11 , ficamos com:

1 2 ∫ 0 π cos ⁡ 11 x d x = 1 2 ⋅ 1 11 sin ⁡ 11 x ​ 0 π

Como s e n k x = 0 para todo k ∈ N :

= 1 2 ⋅ 1 11 sin ⁡ ( 11 π ) - sin ⁡ ( 0 ) = 0

Perfeito! Agora, fazendo n = 5 , vem que:

1 2 ∫ 0 π cos ⁡ 5 x d x = 1 2 ⋅ 1 5 sin ⁡ 5 x ​ 0 π

= 1 2 ⋅ 1 5 sin ⁡ 5 π - sin ⁡ ( 0 ) = 0

O nosso resultado final pode ser escrito como:

∫ 0 π cos ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 8 x ) d x = 0

E finalmente!!! A questão acabou-se! Te vejo na próxima pessoal! Tchauzinho!!

Resposta

∫ 0 π cos ⁡ ( 3 x ) cos ⁡ ( 8 x ) d x = 0

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