1b) Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Bora lá resolver essa integral. Quando a gente pega uma dessas que tem um polinômio de segundo grau dentro de uma raiz, uma estratégia é usar substituição trigonométrica. Veja só essa relação aqui:
Se multiplicarmos por dos dois lados da equação, temos:
E passando o pro outro lado:
Agora, veja só. Como , podemos reescrever essa relação para:
Ok, mas e daí? O que fazer com isso? Olha a sagacidade. Se fizermos a substituição:
A relação trigonométrica vira:
Opa! Apareceu aí o polinômio que ta dentro da raíz! Substituindo então:
Ok, mas ainda não acabou. Temos que transformar em . Pra isso, derivamos:
Ficamos então com:
Passo 2
Ok, não resolvemos ainda a questão. Na verdade, acabamos parando com outra integral:
Essa no entanto tem menos mistério pra gente resolver. Dá uma olhada, pegando de novo a relação trigonométrica:
Podemos substituir ela na integral e ficar com:
E olha só! é exatamente a derivada de ! Então essa integral se resolve por:
Passo 3
A integral ta resolvida:
Mas resolvida com variável errada né! Então vamos voltar pra original. Seja:
Temos que:
E da relação trigonométrica já modificada que fizemos:
Ficamos com:
Fechou então! Variável original de volta! O resultado vai ser: