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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Listas de Integrais – Questão 5.2

Calcule

∫ x 2 + 4 x   d x   ( D i c a : c o m p l e t e   q u a d r a d o s )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa integral

∫ x 2 + 4 x   d x

Temos uma raiz com x 2 , então vamos usar substituição trigonométrica! Mas antes vamos completar quadrados

x 2 + 4 x + 4 - 4 = x + 2 2 - 4

Antes de mais nada, vamos fazer uma mudança de variáveis

u = x + 2

Aí

u 2 - 4

Agora sim vamos usar substituição trigonométrica!

Temos algo do tipo

u 2 - a 2

Então vamos escolher

u = 2 sec ⁡ v

u 2 = 4 sec 2 ⁡ u

d u = 2 sec ⁡ v tan ⁡ v d v

A ideia é substituir e calcular a integral!

Belê?

Então é isso que vamos fazer! No final não esquece de voltar para x !

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa integral

∫ u 2 - 4   d u

E a substituição

u = 2 sec ⁡ v

u 2 = 4 sec 2 ⁡ u

d u = 2 sec ⁡ v tan ⁡ v d v

Substituindo temos

∫ 4 ( sec 2 ⁡ v - 1 ) 2 sec ⁡ v tan ⁡ v d v = 4 ∫ tan 2 ⁡ v sec ⁡ v d v

Beleza?

Agora nossa missão é resolver essa integral!

Passo 3

Eliminando a tangente temos

4 ∫ tan 2 ⁡ v sec ⁡ v d v = 4 ∫ sec 2 ⁡ v - 1 sec ⁡ v d v

= 4 ∫ sec 3 ⁡ v d v - 4 ∫ sec ⁡ v d v

E sabemos que

∫ sec 3 ⁡ v d v = 1 2 sec ⁡ v tan ⁡ v + 1 2 ln ⁡ tan ⁡ v + sec ⁡ v

∫ sec ⁡ v d v = ln ⁡ tan ⁡ v + sec ⁡ v

Agora é só substituir!

= 4 1 2 sec ⁡ v tan ⁡ v + 1 2 ln ⁡ tan ⁡ v + sec ⁡ v - 4 ln ⁡ tan ⁡ v + sec ⁡ v

= 2 sec ⁡ v tan ⁡ v - 2 ln ⁡ tan ⁡ v + sec ⁡ v  

Tudo bem?

Agora precisamos voltar para x

Temos que

u = 2 sec ⁡ v → sec ⁡ v = x + 2 2 = h i p o t e n u s a c a t .   a d j

Em um triângulo retângulo

c a t .   o p o s t o 2 + c a t . a d j 2 = h i p 2

Então

c a t   o p o s t o = h i p 2 - c a t .   a d j 2 = x + 2 2 - 4

E aí

tan ⁡ v = x + 2 2 - 4 2

E nossa integral fica

= x + 2 2 x + 2 2 - 4 - 2 ln ⁡ x + 2 2 - 4 2 + x + 2   + C

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

x + 2 2 x + 2 2 - 4 - 2 ln ⁡ x + 2 2 - 4 2 + x + 2   + C

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