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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.9 – 1f

Calcule as integrais abaixo:

∫ 1 - 4 x 2 d x

Passo 1

E aí, galerinha! Vamos precisar aqui fazer uma substituição para calcular essa integral.

Além disso, vamos precisar uns algebrismos aqui!! Então, vem comigo!!

Passo 2

Vamos fazer o seguinte aqui:

∫ 1 - 4 x 2 d x = ∫ 4 1 4 - x 2 d x

2 ∫ 1 4 - x 2 d x

Note que temos uma identidade de substituição:

a 2 - x 2 = a   s e n θ

Logo, temos:

x = 1 2   s e n θ

d x = 1 2   c o s θ   d θ

Passo 3

Dessa forma, podemos substituir na integral as substituições que encontramos no passo anterior:

2 ∫ 1 4 - x 2 d x = 2 ∫ 1 4 - 1 4 s e n 2 θ × 1 2 c o s θ   d θ

Simplificando e usando a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

∫ 1 4 ( 1 - s e n 2 θ ⏟ cos 2 ⁡ θ ) c o s θ   d θ

Logo, temos:

1 2 ∫ cos 2 ⁡ θ   d θ

Passo 4

Podemos ainda utilizar mais uma identidade trigonométrica, uma vez:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ

Logo, temos:

1 2 ∫ 1 2 1 + cos ⁡ 2 θ   d θ = 1 4 ∫ 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

Aplicando a integral, temos:

1 4 θ + 1 2 s e n 2 θ = 1 4 s e n - 1 2 x + 1 2 1 - 4 x 2 + C

Resposta

1 4 s e n - 1 2 x + 1 2 1 - 4 x 2 + C

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