Mostre que . (Sugestão: prove para , use as propriedades da trigonometria, para , use derivada)
Passo 1
Enunciar o teorema do valor médio
Essa questão tem um cheirinho de TVM, não é? Vamos lembrar então do teorema do valor médio primeiro e vamos ver se conseguimos algo dele. Seja contínua entre , tal que , então existirá um número tal que que satisfaz:
Da forma mais direta, se escolhermos:
Vamos ficar com
Passo 2
Achar uma expressão para e coloca-la em uma inequação
Show de bola, como nosso enunciado era:
É uma escolha interessante fazermos:
Porque, dessa forma, vamos ter:
E, logo, derivando , ficaremos com:
Opa, vamos lembrar de uma propriedade importante dos senos e cossenos:
Maravilha, agora é só substituir:
E pronto, tai provado! Mais uma questão feita pra lista!
Resposta
é provado como verdadeiro.