Corpos Rígidos, Momento Angular
Um besouro encontra-se na borda de um disco muito leve que gira como um carrossel. Se o besouro se deslocar para o centro do disco, assinale qual é a afirmativa verdadeira em relação ao disco e ao sistema (disco + besouro):
a) A velocidade angular do disco aumenta e o momento de inércia do sistema aumenta.
b) A velocidade angular do disco diminui e o momento de inércia do sistema aumenta.
c) A velocidade angular do disco diminui e o momento de inércia do sistema diminui.
d) A velocidade angular do disco aumenta e o momento de inércia do sistema diminui.
Passo 1
Temos uma rotação, então é bom começar deixando claro qual é o eixo de rotação. O enunciado diz que o disco “gira como um carrossel”.
Que eu saiba isso significa que o eixo de rotação fica no meio do disco! Dito isso, vamos continuar :)
Passo 2
Vamos dar uma olhada no que acontece com o momento de inércia do sistema quando o besouro se desloca.
O momento de inércia do sistema é a soma dos momentos de inércia do disco e do besouro, em relação ao eixo de rotação.
O disco não se mexe então seu momento de inércia é constante. Por isso só temos que determinar se o momento de inércia do besouro aumenta ou diminui depois dele se mexer, show?
Passo 3
O momento de inércia do besouro em relação ao eixo de rotação é dado por:
sendo a massa do besouro e a sua distância ao eixo.
Inicialmente, o besouro está na borda do disco, então
sendo o momento de inércia inicial do besouro.
Passo 4
Mas depois dele se deslocar, ele vai justamente no centro do disco, em cima do eixo de rotação, então seu momento de inércia final é zero:
Portanto, o momento de inércia do besouro diminui e consequentemente, o momento de inércia do sistema diminui:
Passo 5
Ainda falta a velocidade angular!
Repare que não tem nenhuma força externa realizando torque em relação ao eixo de rotação do nosso sistema disco-besouro! E sabemos que se a soma dos torques externos é zero, o momento angular se conserva:
sendo o módulo do momento angular inicial e o módulo do momento angular final, depois do besouro mexer.
Passo 6
E o módulo do momento angular é dado por:
Logo,
Dividindo por dos 2 lados, fica:
Mas pera, a gente viu que
E como ambos são positivos, concluímos que
Portanto, a velocidade angular do sistema aumenta.
Faz sentido, porque o momento angular é o produto de com . Então se diminui, pro momento angular se conservar, tem que aumentar!
Resposta
Alternativa (d)