Física B – PUC RJ – 2019.2 – P3 – Questão 3
Uma esfera maciça homogênea, de massa e raio , está fixada por sua periferia à extremidade de uma barra fina homogênea, de massa e comprimento . O conjunto barra-esfera está disposta sobre uma mesa horizontal sem atrito, de modo que pode girar livremente em torno de . Considere as seguintes expressões para os momentos de inércia em torno dos centros de massa: e .
a) Calcule, em , o momento de inércia do conjunto barra-esfera em relação ao ponto .
O conjunto barra-esfera, inicialmente em repouso, recebe o impacto de uma bala de massa que se dirige perpendicularmente à barra com velocidade escalar . Como resultado deste impacto de duração muito curta, a bala acaba se alojando exatamente no centro da esfera, e o novo conjunto, barra-esfera-bala, passa a rodar em torno de .
b) Julgue cada afirmativa como Verdadeira ou Falsa e depois justifique sua resposta.
(i) A energia cinética total do sistema barra-esfera-bala é conservada durante a colisão.
(ii) O momento linear total do sistema barra-esfera-bala é conservado durante a colisão.
(iii) O momento angular total do sistema barra-esfera-bala é conservado durante a colisão.
Considere a massa da bala e suponha que o valor encontrado no item (a) para o momento de inércia do conjunto barra-esfera tenha sido .
c) Calcule a velocidade escalar que a bala possuía imediatamente antes do impacto sabendo que, imediatamente após o impacto, o sistema barra-esfera-bala gira ao redor de com velocidade angular final .
Passo 1
Fala galerinha, bora resolver mais um probleminha?
Para começar temos que achar o momento de inércia do sistema barra-esfera com relação ao ponto . Vamos olhar primeiro para a barra: sabemos o momento de inércia com relação ao centro de massa, mas precisamos do momento de inércia com relação ao ponto . Para isso, usamos o teorema dos eixos paralelos:
onde é a distância da barra ao ponto . Portanto,
Assim,
Já para a esfera, temos que fazer o mesmo, porém agora , já que a distância do centro da esfera ao ponto deve considerar o tamanho da barra e o raio da esfera:
Substituindo os números:
Para achar o momento de inércia do sistema, basta somar os dois:
Passo 2
Para o resto do problema temos que considerar a colisão de uma bola com a esfera, de modo que a bala fica alojada na esfera e o sistema barra-esfera-bala se move em conjunto.
No item (b) temos que fazer considerações sobre a conservação da energia cinética, do momento linear e do momento angular.
A afirmativa (i) está errada pois como a bala fica alojada na esfera, a colisão é inelástica, de modo que parte da energia cinética é perdida.
A afirmativa (ii) também está errada pois o momento só seria conservado se a resultante de forças externas sobre o sistema fosse nula. Porém o pino exerce uma força na barra e isso impede o sistema de manter o movimento de translação inicial. Logo, o momento linear não se conserva!
Por fim, a afirmativa (iii) é verdadeira! Apesar de o pino exercer uma força externa sobre o sistema, essa força é aplicada exatamente no ponto , de modo que o torque com relação a esse ponto é nulo. Como o torque externo sobre o sistema é nulo, o momento angular com relação ao ponto se conserva.
Passo 3
Para terminar, vamos ao item (c)! Vimos no passo anterior que o momento angular se conserva, de modo que
Imediatamente antes da colisão, o momento angular do sistema é devido apenas a bala:
Após a colisão, o momento angular é dado por
Aqui temos que tomar um cuidado, é o momento de inércia total, considerando barra-esfera e a bala, de modo que
Nessa expressão, é o momento de inércia do item (a). Porém o exercício pediu para gente usar para facilitar um pouco as contas.
Igualando os momentos angulares:
Logo,
Agora é só substituir e fazer conta:
Assim,
Com isso fechamos o problema 😉!
Resposta
Apenas (iii) é verdadeira.