Duas esferas de M = 2,00   k g são presas às extremidade de uma barra fina de massa desprezível, de L = 1,00   m de comprimento. A barra pode girar livremente, sem atrito, num plano vertical, em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. Enquanto a barra está na horizontal como mostra afigura, uma massinha de m = 1,00   k g cai com velocidade de 3,00   m / s sobre uma das esferas e fica grudada a ela. Considerando as esferas como massa pontuais, calcule:

a ) O momento de inércia do sistema em torno do eixo após a colisão.

b ) A velocidade angular do sistema imediatamente após a colisão.

c ) O vetor torque resultante realizado pela força peso no sistema quando a barra faz uma ângulo de 30 ° com a horizontal.

d ) Qual será o ângulo medido a partir da horizontal em que o sistema irá parar temporariamente.

Passo 1

a )  

Vamos calcular o momento de inércia, para isso precisamos lembrar da fórmula!

I = ∫ l d m

Onde l é a distância da massa até o eixo. No nosso caso, temos três corpos, as massas pontuais. Para elas, o momento de inércia fica;

I = M   .   L 2 2 + M   .   L 2 2 + m   .   L 2 2

I = 2,0   .   1,0 2 2 + 2,0   .   1,0 2 2 + 1,0   .   1,0 2 2

I = 1,25   k g   .   m 2

Passo 2

b )

Para calcular a velocidade angular após a colisão, iremos recorrer à conservação do momento angular, L a n t e s = L d e p o i s . Se liga! Antes da colisão, a barra estará em repouso, logo não irá contribuir, mas a massinha que está caindo irá! Depois da colisão, a barra como um todo, agora que a massinha grudou na esfera, irá girar em torno de seu eixo, desse modo, temos:

L 2 . m   . v o = I   .   ω

Passo 3

Agora é só substituir, já temos todos os valores, inclusive o momento de inércia, pois já o calculamos no item a !

1,0 2 . 1,0   .   3,0 = 1,25   .   ω

ω = 1,2   r a d / s

Passo 4

c )  

Para achar o vetor torque, basta lembrar da definição de torque,   τ → = r → × F → , agora é só usar a fórmula, mas é sempre com fazer um desenho para ter uma ideia melhor do que estamos fazendo!

Passo 5

Agora que temos a figura, fica mais fácil, vamos lá! Para achar os ângulos é só usar trigonometria básica que você não vai errar!

τ = L 2 . M + m . g . sen ⁡ θ 1 - L 2 . m .   g . s e n ( θ 2 )

τ = 1,0 2 . 1,0 + 2,0 . 10   . sen ⁡ 60 ° - 1,0 2 . 2,0   .   10   . sen ⁡ ( 120 ° )

τ → = 4,33   k ^ N   .   m

Opaa...de onde surgiu essa direção e sentido do vetor torque!? Bom usando a regra da mão direita, encontramos que o vetor torque aponta para dentro do papel, e de acordo com o eixo que o enunciado indica, sabemos que é positivo para a coordenada z , e portanto deve ser ( k ^ ) ! Sacou!?

Passo 6

d )

Para descobrir quando o sistema irá parar temporariamente, devemos recorrer ao teorema do trabalho e energia cinética, W = ∆ E c , onde o trabalho é igual a variaçãoo da energia cinética. E para rotação, fica:

W = ∫ τ d θ

∆ E c = I . ω f 2 2 - I . ω i 2 2

ou seja:

L 2 . m . g . sen ⁡ θ f - sen ⁡ θ i =   I . ω f 2 2 - I . ω i 2 2

Sabemos que θ i = 0 e que ω f = 0 , então, temos:

sen ⁡ θ f = - I . ω i 2 L . m . g

sen ⁡ θ f = - 1,25   .   1,2 2 1,0   .   1,0   .   10

θ f = - 10,4 °

Resposta

a )   I = 1,25   k g   .   m 2

b )     ω = 1,2   r a d / s

c )   τ → = 4,33   k ^ N   .   m

d )   θ f = - 10 , 4 °

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