No sistema ao lado, um bloco de massa m 1 está unido por um fio de comprimento d 1 a um eixo em O , e uma massa m 2 está unida à m 1 por um fio de comprimento d 2 ( d 1   =   3,0   m , d 2   =   1,0   m , m 1   =   m 2   =   0,50   k g ). A massa dos fios é desprezível e o conjunto está apoiado sobre uma mesa horizontal sem atrito.

a) Sabendo que a corda que une m 1 à O está sob uma tensão constante T 1   =   14   N . Ache a velocidade angular constante do sistema, ω i , e seu momento angular em relação ao ponto O .

(dica: escreva a 2ª Lei de Newton para m 1 e m 2 discriminando com cuidado as tensões que agem sobre m 1 e m 2 )

b) Se o fio que liga m 1 a m 2 quebrar quando o sistema estiver passando sobre o eixo x , descreva em poucas palavras o movimento subsequente de m 2 (fale sobre o tipo de movimento e a trajetória seguida e a velocidade do corpo).

c) Calcule o momento angular de m 2 após a ruptura do fio, L 2 f , em relação ao ponto O.

Usando conservação de momento angular, calcule a velocidade angular final da massa m 1 ,

ω 1 f .

Passo 1

a)

Vamos lá. A questão ta pedindo pra gente calcular a velocidade angular e o momento angular em relação ao ponto O . Ele dá uma dica, então vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre para cada massinha, e ver quais são as forças atuando em cada uma:

Não coloquei a normal e o peso porque estamos olhando por cima da mesa. A norma aponta pra cima da mesa, e o peso aponta pra baixo da mesa.

Para o corpo 1:

T 2 - T 1 = m 1 a 1

Para o corpo 2:

T 2 = m 2 a 2

Outra coisa importante, é um movimento circular, certo? Então a aceleração é a aceleração centrípeta a c p , apontando sempre para o centro da trajetória.

a c p = v 2 R

Onde esse R é o raio da trajetória circular. Pra massinha 1 é d 1 , pra massinha 2 é d 1 + d 2 .

Usando a relação entre velocidade linear e angular:

v = ω R

a c p = ω 2 R

Olha lá na figura do enunciado, se a aceleração aponta para o centro, temos que ela aponta para o sentido negativo de x.

Então a segunda lei de newton fica:

Para o corpo 1:

T 2 - T 1 = m 1 a 1

T 2 - T 1 = m 1 ω 2 d 1

Para o corpo 2:

T 2 = m 2 a 2

T 2 = m 2 ω 2 ( d 1 + d 2 )

Agora é só brincar de substituir:

Substituindo a equação de T 2 no corpo 1:

T 2 - T 1 = m 1 ω 2 d 1

m 2 ω 2 d 1 + d 2 - T 1 = m 1 ω 2 d 1

T 1 = m 2 ω 2 d 1 + d 2 - m 1 ω 2 d 1

T 1 = ω 2 m 2 d 1 + m 2 d 2 - m 1 d 1

Substituindo os valores:

14 = ω 2 3,5

ω = 2,0   r a d / s

Show!

Agora ainda temos que calcular o momento angular:

Passo 2

Sabemos que:

L = I ω

A velocidade angular a gente sabe. Só falta achar o momento de inércia.

Então vamos lá, como são partículas separadas é só somar o momento de cada uma em relação ao ponto O :

I = m 1 d 1 2 + m 2 d 1 + d 2 2 = 12,5   k g   m 2

Então:

L = I ω

L = 12,5 ⋅ 2

L = 25   k g   m 2 / s  

Passo 3

(b)

Se o fio quebrar, não teremos mais a acelereção centrípeta.

Se estamos falando de um movimento sem aceleração, estamos falando de um movimento com a velocidade constate, logo é um movimento uniforme! A trajetória vai ser uma linha reta, e se o fio soltar quando o sistema estiver passando pelo eixo x, então é uma linha reta paralela ao eixo y.

Passo 4

(c)

Na ruptura, a velocidade é:

v = ω R

v = ω d 1 + d 2

v = 8   m / s

Assim,

L 2 f = d 1 + d 2 m v

L 2 f = 16   k g   m 2 /   s

Com não existem torques externos no sistema, o momento linear se conserva, então:

L 1 f + L 2 f = L i

O momento angular inicial nos achamos lá na letra a:

L 1 f + L 2 f = 25

L 1 f = 25 - 16 = 9   k g   m 2 /   s  

Sabemos que

L 1 f = d 1 m v = d 1 m 1 ω d 1 = 4,5 ω

9 = ω 4,5

ω = 2   r a d / s

Show!!

Resposta

a)

ω = 2,0 r a d s

L = 25   k g   m 2 / s  

b) Se o fio quebrar, não teremos mais a acelereção centrípeta.

Se estamos falando de um movimento sem aceleração, estamos falando de um movimento com a velocidade constate, logo é um movimento uniforme! A trajetória vai ser uma linha reta, e se o fio soltar quando o sistema estiver passando pelo eixo x, então é uma linha reta paralela ao eixo y.

c)

ω = 2   r a d / s

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