Uma estrela em rotação sofre uma contração e seu momento de inércia diminui para 1 / 3 do valor inicial. Qual a razão entre a energia cinética rotacional inicial, K i , da estrela e sua energia cinética rotacional final, K f ?

(a) K i / K f = 1

(b) K i / K f = 3

(c) K i / K f = 1 / 3

(d) K i / K f = 3

(e) K i / K f = 3 / 3  

Passo 1

Digamos que a estrela tinha inicialmente um momento de inércia I e uma velocidade angular ω . Então sua energia cinética rotacional era dada por:

K i = 1 2 I ω ²

Muita calma nessa hora, não podemos cair na pegadinha e achar que quando o momento de inércia diminui pra 1 / 3 do inicial a energia cinética também vai. Isso porque nada garante que a velocidade angular vai ser manter constante!

Passo 2

Ele não fala nada de nenhum torque externo atuando, então podemos assumir que o momento angular se conserva:

L i = L f

E o módulo do momento angular é o produto do momento de inércia com a velocidade angular, então:

L i = I ω

Depois de sofrer a contração, o momento de inércia da estrela passa a ser 1 3 I . Vamos chamar a velocidade angular final de ω f . Então o momento angular final da estrela é:

L f = 1 3 I ω f

Passo 3

Voltando à conservação do momento angular:

L i = L f

⇒ I ω = 1 3 I ω f

⇒ ω f = 3 ω

Passo 4

Show! Então já da pra gente calcular a energia cinética rotacional final:

K f = 1 2 ∙ 1 3 I 3 ω 2

⇒ K f = 1 6 I ⋅ 9 ω 2

⇒ K f = 3 2 I ω 2

Passo 5

Portanto, a razão K i / K f é:

1 2 I ω 2 3 2 I ω 2 = 1 2 ∙ 2 3 = 1 3

Resposta

Alternativa (c)

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