Um disco pequeno de massa m preso por um fio cuja outra extremidade está presa a um bloco de massa M descreve um movimento circular uniforme de raio R em uma mesa com um furo central por onde passa o fio. Sabe-se que a força de atrito entre o disco e a superfície da mesa é desprezível. Em um certo instante, uma força externa variável puxa o bloco de massa M lentamente para baixo. A força externa, então, se estabiliza e observa-se que o disco passa a girar em torno do centro da mesa, em um movimento circular uniforme de raio R / 2 .

a) Qual o módulo da velocidade do disco durante o movimento circular inicial de raio R ?

b) Qual passa a ser a velocidade angular de rotação quando o movimento circular passa a ter raio R / 2 ?

c) Qual o trabalho realizado pela força externa que puxou o fio para que ocorra a mudança de movimento de circular de raio R para o de raio R / 2 ?

Passo 1

Inicialmente, o disco sobre a mesa realiza um MCU (movimento circular uniforme).

Para isso, a força resultante sobre o disco atua como força centrípeta.

E que força está fazendo esse papel de força centrípeta?

A força de tração T → no fio:

Passo 2

Podemos igualar essa força de tração à expressão da força centrípeta:

T = F c t p

T = m v 0 2 R

Mas não conhecemos ainda a força de tração T ...

Passo 3

Então vamos aplicar a segunda lei de Newton ao bloco suspenso abaixo da mesa:

OBS: O vetor T → ' apresenta o mesmo módulo da força de tração T → , porém os vetores apontam em direções diferentes, por isso mudamos apenas seu nome.

Esse bloco está em equilíbrio!

Isso porque para que o disco realize um MCU, o raio da trajetória circular não muda, ou seja, o bloco não está subindo nem descendo abaixo da mesa.

Assim, temos que:

F R = 0

P - T = 0

M g - T = 0

T = M g

Passo 4

Agora podemos substituir o valor de T na expressão da força centrípeta:

T = m v 0 2 R

M g = m v 0 2 R

Isolando a velocidade, temos:

v 0 2 = M R g m

v 0 = M R g m

Passo 5

Agora na letra (b), uma força externa atua puxando o bloco para baixo.

Assim, o raio da trajetória do disco agora é R / 2 .

Queremos saber a nova velocidade v do disco sobre a mesa.

Poderíamos pensar em resolver exatamente da mesma maneira que o item anterior...

Porém, agora nós não conhecemos a força de tração, ou seja, não conhecemos o módulo da força centrípeta atuando sobre o disco.

Então, precisamos achar uma outra grandeza, de preferência que se conserve antes e depois dessa mudança.

Passo 6

Repara que a força de tração atua sempre perpendicular ao movimento do disco:

Assim, temos que essa força não gera torque com relação ao centro de rotação...

Se não tem nenhum torque atuando sobre o sistema, o Momento Angular se conserva:

L 0 = L

A partir do momento angular conseguimos relacionar velocidade com o raio da trajetória circular.

Passo 7

O momento angular L → para uma partícula (disco) é dada pelo produto vetorial entre o vetor r → e o vetor momento linear p → :

L → = r → × p →

Como esses vetores são perpendiculares a todo instante, o módulo do produto vetorial fica:

L = r p . s e n 90 °

L = r p

O momento linear é dado pela massa vezes a velocidade:

L = r m v

Passo 8

Então, conservando o momento angular, temos:

L 0 = L

r 0 m v 0 = r m v

O raio inicial é R , enquanto no final passa a ser R / 2 :

R m v 0 = R 2 m v

Cortanto R e m :

v 0 = v 2

v = 2 v 0

Substituindo a expressão que achamos na letra (a) para v 0 :

v = 2 M R g m

Passo 9

Porém, nós queremos a velocidade angular ω , então, vamos utilizar a relação:

v = ω r

2 M R g m = ω R 2

ω = 4 R M R g m

Passando o R para dentro da raiz elevado ao quadrado, ficamos com:

ω = 4 M g m R

Passo 10

Já na letra (c), queremos o trabalho dessa força externa.

Bom, conhecemos o deslocamento radial do disco de ( R / 2 ), entretanto, não conhecemos o módulo dessa força externa ao longo desse deslocamento.

Então, a melhor saída é aplicar o Teorema Trabalho-Energia Cinética que diz que:

W R = ∆ K

Mas muito cuidado, essa força externa não é a única realizando trabalho.

Tanto a força peso do bloco quanto essa força externa atuam sobre a corda realizando trabalho:

W P + W e x t = ∆ K

Passo 11

O trabalho da força peso do bloco é:

W P = M g h

Se o raio da trajetória do disco diminuiu R / 2 , isso significa que o bloco desceu uma altura igual...

W P = M g R 2

Substituindo isso no teorema, temos:

M g R 2 + W e x t = ∆ K

Passo 12

Vamos à variação da energia cinética ∆ K .

Como temos apenas um movimento de rotação do disco, a energia cinética tanto inicial quanto num instante após a diminuição do raio será uma energia cinética de rotação:

∆ K = K f - K 0

∆ K = I ω 2 2 - I 0 ω 0 2 2

O momento de inércia é do disco é calculado com:

I d i s c o = m r 2

Assim, temos que:

I = m R 2 2 = m R 2 4

I 0 = m R 2 = m R 2

A velocidade angular final ω nós já encontramos no item (b):

ω = 4 M g m R

Já a velocidade angular inicial ω 0 , podemos descobrir a partir da velocidade v 0 :

v 0 = ω 0 r

M R g m = ω 0 R

Passando esse R para dentro da raiz no denominador, ficamos com:

ω 0 = M g m R

Passo 13

Substituindo I e ω na variação de energia cinética:

∆ K = I ω 2 2 - I 0 ω 0 2 2

∆ K = 1 2 m R 2 4 4 M g m R 2 - 1 2 m R 2 M g m R 2

∆ K = 1 2 m R 2 4 16 M g m R - 1 2 m R 2 M g m R

∆ K = 2 m R 2 M g m R - 1 2 m R 2 M g m R

∆ K = 3 2 m R 2 M g m R

Simplificando:

∆ K = 3 2 M g R

Passo 14

Voltando ao teorema, temos:

M g R 2 + W e x t = ∆ K

M g R 2 + W e x t = 3 2 M g R

W e x t = M g R 3 2 - 1 2

W e x t = M g R

Pronto, achamos o trabalho da força externa, ufa!

Resposta

(a)

v 0 = M R g m

(b) ω = 4 M g m R

(c) W e x t = M g R

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