Um disco pequeno de massa preso por um fio cuja outra extremidade está presa a um bloco de massa descreve um movimento circular uniforme de raio em uma mesa com um furo central por onde passa o fio. Sabe-se que a força de atrito entre o disco e a superfície da mesa é desprezível. Em um certo instante, uma força externa variável puxa o bloco de massa lentamente para baixo. A força externa, então, se estabiliza e observa-se que o disco passa a girar em torno do centro da mesa, em um movimento circular uniforme de raio .

a) Qual o módulo da velocidade do disco durante o movimento circular inicial de raio ?

b) Qual passa a ser a velocidade angular de rotação quando o movimento circular passa a ter raio ?

c) Qual o trabalho realizado pela força externa que puxou o fio para que ocorra a mudança de movimento de circular de raio para o de raio ?

Podemos igualar essa força de tração à expressão da força centrípeta:

Mas não conhecemos ainda a força de tração ...

Então vamos aplicar a segunda lei de Newton ao bloco suspenso abaixo da mesa:

OBS: O vetor apresenta o mesmo módulo da força de tração , porém os vetores apontam em direções diferentes, por isso mudamos apenas seu nome.

Esse bloco está em equilíbrio!

Isso porque para que o disco realize um MCU, o raio da trajetória circular não muda, ou seja, o bloco não está subindo nem descendo abaixo da mesa.

Assim, temos que:

Agora podemos substituir o valor de na expressão da força centrípeta:

Isolando a velocidade, temos:

Agora na letra (b), uma força externa atua puxando o bloco para baixo.

Assim, o raio da trajetória do disco agora é .

Queremos saber a nova velocidade do disco sobre a mesa.

Poderíamos pensar em resolver exatamente da mesma maneira que o item anterior...

Porém, agora nós não conhecemos a força de tração, ou seja, não conhecemos o módulo da força centrípeta atuando sobre o disco.

Então, precisamos achar uma outra grandeza, de preferência que se conserve antes e depois dessa mudança.

Repara que a força de tração atua sempre perpendicular ao movimento do disco:

Assim, temos que essa força não gera torque com relação ao centro de rotação...

Se não tem nenhum torque atuando sobre o sistema, o Momento Angular se conserva:

A partir do momento angular conseguimos relacionar velocidade com o raio da trajetória circular.

O momento angular para uma partícula (disco) é dada pelo produto vetorial entre o vetor e o vetor momento linear :

Como esses vetores são perpendiculares a todo instante, o módulo do produto vetorial fica:

O momento linear é dado pela massa vezes a velocidade:

Então, conservando o momento angular, temos:

O raio inicial é , enquanto no final passa a ser :

Cortanto e :

Substituindo a expressão que achamos na letra (a) para :

Porém, nós queremos a velocidade angular , então, vamos utilizar a relação:

Passando o para dentro da raiz elevado ao quadrado, ficamos com:

Já na letra (c), queremos o trabalho dessa força externa.

Bom, conhecemos o deslocamento radial do disco de ), entretanto, não conhecemos o módulo dessa força externa ao longo desse deslocamento.

Então, a melhor saída é aplicar o Teorema Trabalho-Energia Cinética que diz que:

Mas muito cuidado, essa força externa não é a única realizando trabalho.

Tanto a força peso do bloco quanto essa força externa atuam sobre a corda realizando trabalho:

O trabalho da força peso do bloco é:

Se o raio da trajetória do disco diminuiu , isso significa que o bloco desceu uma altura igual...

Substituindo isso no teorema, temos:

Vamos à variação da energia cinética .

Como temos apenas um movimento de rotação do disco, a energia cinética tanto inicial quanto num instante após a diminuição do raio será uma energia cinética de rotação:

O momento de inércia é do disco é calculado com:

Assim, temos que:

A velocidade angular final nós já encontramos no item (b):

Já a velocidade angular inicial , podemos descobrir a partir da velocidade :

Passando esse para dentro da raiz no denominador, ficamos com:

Substituindo e na variação de energia cinética:

Simplificando:

Voltando ao teorema, temos:

Pronto, achamos o trabalho da força externa, ufa!