Dois astronautas, cada um tendo massa M , estão ligados por uma corda de comprimento d , com massa desprezível. Eles se encontram isolados no espaço, orbitando ao redor do centro de massa comum com velocidades escalares v , tangenciais à corda, no sentido

mostrado na figura. Modele os astronautas como partículas.

a ) Encontre o módulo do momento angular do sistema em relação ao centro de massa.

b ) Os astronautas começam a puxar a corda simultaneamente de tal forma que, ao final, reduzem sua distância para d 2 . Nesta nova configuração, determine o período de rotação dos dois em relação ao centro de massa comum.

c ) Calcule o trabalho total realizado pelos astronautas ao recolher a corda.

Passo 1

a )

Para determinar o momento angular do sistema, precisamos lembrar da definição:

L → = r → × p →

Para o sistema considerado, temos:

L = d 2 .   M . v . sen ⁡ 90 ° +   d 2 .   M . v . sen ⁡ 90 °

Ah...esse 90 ° vem do fato que a velocidade dos astronautas é tangencial. Além disso, os momentos angulares estão somados, pois ambas as velocidades apontam para o mesmo sentido de rotação.

L = d . M . v

Passo 2

b )

Para achar o período, vamos primeiro achar a velocidade angular, pois sabemos que T = 2 . π ω .

Mas como achar a velocidade angular? Bom, quando os astronautas puxam a corda, uma força é exercida, no entanto essa força é radial, e portanto, não realiza torque. E quando torques externos não atuam, podemos conservar o momento angular, dito isso, temos:

L a n t e s = L d e p o i s

L a n t e s = I f . ω f

d . M . v = 2 . M . d 4 2 . ω f

ω f = 8 . v d

Passo 3

Agora que temos a velocidade angular, podemos achar o período de rotação!

T = 2 . π ω

T = 2 . π . d 8 . v

T = π . d 4 . v

Passo 4

c )

Para achar o valor do trabalho total realizado pelos astronautas, devemos recorrer ao teorema do trabalho e energia cinética! Claro que usaremos valores já calculados anteriormente.

W T O T = Δ E c

W T O T = I f . ω f 2 2 - I i . ω i 2 2

W T O T = 2 . M . d 4 2 . 8 . v d 2 2 - 2 . M . d 2 2 . 2 . v d 2 2

Simplificando, temos:

W T O T = 4 . M v 2 - M . v 2  

W T O T = 3 . M . v 2

Resposta

a )   L = d . M . v

b )   T = π . d 4 . v

c )   W T O T = 3 . M . v 2

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