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Exercícios Resolvidos de Conservação do Momento Angular

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Enunciado

Um sistema é composto por 3 esferas de massas: m , m e 4 m , conforme a Figura. O sistema gira em torno do eixo x com velocidade angular ω , no sentido Horário pra quem vê o sistema de cima. No que segue desconsidere a Massa das hastes e considere as esferas como partículas pontuais.

  1. Determinar a inércia rotacional do sistema em torno do eixo x
  2. Calcule o momento angular (módulo, direção e sentido) do sistema.

Passo 1

L e t r a   A :

Bem, de acordo com a nossa teoria, podemos calcular a inércia rotacional I de uma partícula girando em torno de um eixo pela fórmula:

I = m r 2

Onde r é a distância dessa massa ao eixo de rotação.

No nosso caso, o eixo passa em cima de uma das massas m , logo ela não contribui para a inércia do sistema. Em contrapartida, as outras duas contribuem sim, e então a inércia rotacional do sistema vai ser a soma dessas contribuições:

I s i s = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2

Onde a massa 1 é a massa m e a massa 2 é a massa 4 m ...

I s i s = m r 1 2 + 4 m r 2 2

r 1 e r 2 , por serem a distância até o eixo de rotação das massas...

Por trigonometria, podemos falar que...

r 1 = r sin ⁡ θ

r 2 = 1 2   r sin ⁡ θ

De modo que a inércia rotacional será...

I s i s = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2   →

I s i s = m r sin ⁡ θ 2 + 4 m 1 2   r sin ⁡ θ 2     →

I s i s = m r 2 sin 2 ⁡ θ + 4 m 1 4 r 2 sin 2 ⁡ θ     →

I s i s = m r 2 sin 2 ⁡ θ + m r 2 sin 2 ⁡ θ     →

I s i s = 2 m r 2 sin 2 ⁡ θ

Passo 2

L e t r a   B :

POW! O módulo do momento angular L pode ser dado por...

L = I s i s ω

Então...

m ó d u l o :     L = 2 m r 2 sin 2 ⁡ θ ω

A direção e o sentido podem ser tirados da regra da mão direita: Se a haste gira no sentido horário, então fazendo os dedos (de menos o dedão) girar no sentido horário, o dedão vai ficar pra baixo, indicando que a direção é o sentido do eixo e o sentido para baixo:

d i r e ç ã o :       E i x o   d e   r o t a ç ã o

s e n t i d o :       P a r a   b a i x o

Resposta

Letra A:

I s i s = 2 m r 2 sin 2 ⁡ θ

Letra B:

m ó d u l o :     L = 2 m r 2 sin 2 ⁡ θ ω

d i r e ç ã o :       E i x o   d e   r o t a ç ã o

s e n t i d o :       P a r a   b a i x o

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