Um disco (1), de massa m , raio R e momento de inércia ao redor de seu centro de massa m R 2 / 2 , desliza em um plano horizontal, sem atrito, com velocidade v = v 0   j e velocidade angular ω = 2 v 0 / R   k (veja a figura), onde o eixo z se situa para fora da folha. Em t = 0 , o disco 1 colide com um disco 2 idêntico a ele, de modo que os dois saem grudados em suas extremidades.

a) Dentre as grandezas seguintes: energia cinética, momento linear e momento angular, diga quais se conservam, e quais não se conservam. Justifique.

b) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois discos antes e depois da colisão.

c) Descreva o movimento do sistema formado pelos dois discos grudados após a colisão, e calcule a velocidade angular final dos discos após a colisão.

Passo 1

Na letra (a), vamos responder cada uma delas separadamente.

Energia Cinética: Não se conserva, pois a colisão é inelástica.

Numa colisão elástica há conservação da energia cinética, entretanto, na inelástica não há.

Momento Linear: Se conserva, pois não há ação de forças externas.

Como o plano é horizontal, as forças peso e normal se concelam, ou seja, a força resultante externa é nula.

Além disso, as forças entre os dois discos são forças internas (mesma intensidade e sentidos opostos) logo elas também se cancelam.

Assim, o momento linear se conserva:

p 0 = p

Momento Angular: Se conserva, pois não há torques externos no sistema.

A mesma ideia que usamos para o momento linear na translação, usamos para o momento angular na rotação.

As forças externas como peso e normal não geram torque nos discos, portanto, não há torque externo, então:

L 0 = L

Passo 2

Na letra (b), queremos a velocidade do CM antes e depois da colisão.

Vamos primeiro conservar o momento linear para achar a velocidade dos discos após a colisão.

p 0 = p

Inicialmente, apenas o disco (1) se movia com uma velocidade v → = v 0   j ^ .

Após a colisão, os discos andam juntos com uma velocidade v → f .

m v 0   j ^ = m + m v → f

v → f = v 0 2   j ^

Queremos a velocidade do centro de massa, certo?

Bom, mas como os discos andam juntos após a colisão, o centro de massa estará exatamente na mesma velocidade que eles. Então:

V → f C M = v → f = v 0 2   j ^

E ainda podemos usar mais uma malandragem...

Como não há forças externas atuando no sistema, a velocidade do centro de massa se conserva. Então, a velocidade do centro de massa antes da colisão é a mesma que após a colisão:

V → 0 C M = V → f C M = v 0 2   j ^

Passo 3

Na letra (c), vamos primeiro descrever o movimento após a colisão.

Após a colisão, os dois discos saem colados e apresentam tanto um movimento de translação quanto de rotação em torno do centro de massa do sistema.

A velocidade de translação deles é v → f = v 0 2   j ^ .

Vamos calcular agora a velocidade angular deles.

Passo 4

Para isso, vamos usar a conservação do momento angular:

L 0 = L

I 0 ω = I f ω f

Passo 5

O momento de inércia inicial é o do disco (1) com relação a um eixo passando pelo seu centro de massa:

I 0 = 1 2 m R 2

Já na situação após a colisão, temos que o sistema gira em torno do centro de massa:

Então, precisamos aplicar o teorema dos eixos paralelos para descobrir o momento de inércia de um disco com um eixo perpendicular passando pela sua extremidade.

I d i s c o = I C M + m d 2

I d i s c o = 1 2 m R 2 + m R 2

I d i s c o = 3 m R 2 2

Então, o momento de inércia do conjunto de dois discos será:

I f = 2 I d i s c o

I f = 2 3 m R 2 2

I f = 3 m R 2

Passo 6

Voltando na conservação de momento angular, temos:

I 0 ω = I f ω f

1 2 m R 2 2 v 0 R = 3 m R 2 ω f

m R v 0 = 3 m R 2 ω f

ω f = v 0 3 R

E o vetor será no mesmo sentido da velocidade angular inicial:

ω → f = v 0 3 R   k ^

Resposta

(a)

Energia Cinética: Não se conserva, pois a colisão é inelástica.

Momento Linear: Se conserva, pois não há ação de forças externas.

Momento Angular: Se conserva, pois não há torques externos no sistema.

(b) V → 0 C M = V → f C M = v 0 2   j ^

(c)

O conjunto dos dois discos translada com v → f = v 0 2   j ^ e rotaciona em torno do centro de massa (ponto que une os dois discos) com velocidade angular ω → f = v 0 3 R   k ^ .

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