Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade
Considere a função:
a) Calcule o limite , ou mostre que ele não existe.
b) Calcule o limite , ou mostre que ele não existe.
c) A função e contínua em ? Justifique.
d) A função e contínua em ? Justifique.
Passo 1
a) Vamos lá! Partiu calcular esse limite! Veja que, se colocamos , teremos , que é uma indeterminação. Assim, antes de partir para qualquer teorema (Sanduíche, Anulamento...), podemos testar alguns caminhos para percorrer a função, afim de encontrar dois limites diferentes e provar que, na verdade, o limite não existe!
Como temos uma soma no numerador e no denominador, podemos escolher um caminho sobre um dos eixos coordenados que, a princípio não anularemos tudo de uma vez. Por exemplo, colocando , teremos:
Colocando onde tiver , e para , teremos:
Opa! Encontramos o limite igual a , show?
Passo 2
Vamos tentar encontrar um limite diferente de ? Como temos no numerador, se optarmos pelo caminho , teremos:
E pronto! Acabamos de provar que o limite não existe, pois encontramos dois valores, e , para ele!
Passo 3
b) Vamos colocar agora :
Como não temos nenhuma indeterminação, o limite existe e é iguala !
Passo 4
c) Tá, agora é só interpretar o resultado que encontramos, né? Para uma função ser contínua, então o limite quando ela tende a algum ponto em questão deve ser igual ao valor que ela assume nesse ponto! Nossa função, então, não é contínua em , pois o limite dela para quando tende a esse ponto não existe, logo, não pode ser igual ao valor que ela assume na origem!
Passo 5
d) Agora, temos um caso na qual o valor que a função assume é o mesmo do seu limite para o ponto! Claro, né? Só o que fizemos foi substituir o ponto , não precisamos calcular limite nenhum! Então, sim, ela é contínua em !
Resposta
a) O limite não existe
b) O limite existe e é igual a .
c) A função não é contínua em , pois o limite dela quando tende a esse ponto não existe, logo, não pode ser igual ao valor que ela assume na origem.
d) No ponto a função é contínua pois o valor do limite quando ela tende a esse ponto é igual ao valor que ela assume nesse ponto.