UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 2, Atividades Profº Plínio Santini - Atividade 1, Questão 1.
Questão 1 Para que valores de a função
é contínua em ?
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão temos que descobrir para quais valores pode assumir para que a função seja contínua.
Tem ideia como fazemos isso? 👀
A função é dada por
Uma função definida por partes é contínua se for contínua em cada intervalo onde é definida e se a sua imagem no ponto de transição entre os intervalos é igual aos valores à direita e à esquerda desse ponto.
Mais formalmente, uma função definida por partes é contínua se:
é definida para todo domínio da função.
é contínua em cada intervalo onde é definida.
O limite à esquerda de no ponto de transição entre os intervalos é igual ao limite à direita de nesse mesmo ponto.
Se essas condições forem satisfeitas, a função definida por partes é contínua em todo o seu domínio.
Sacou, bora começar! 😉
Passo 2
Em outras palavras, tem que tender a se , ou seja
Se nos aproximarmos do ponto pela reta , podemos simplificar nosso limite, veja só
Assim, se se aproxima pela direita, podemos dizer que , mas se se aproxima pela esquerda, então .
Dessa forma, podemos separar em dois limites
Como nosso foco é obter , podemos desconsiderar o limite pois já temos o resultado
Para esse limite ser igual a , o numerador tem que tender a mais rápido que o denominador.
Concorda com isso? 😁
Passo 3
Se chamarmos de , temos
Como então
Simplificando o numerador e o denominador...
Assim, vemos que tem que ser maior que para que esse limite seja verdadeiro, pois se , a equação não é satisfeita.
Portanto, se e , então
tem que ser maior que .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍