Seja a função definida e contínua em . É possível estender de maneira que ela seja contínua em todo ? Caso afirmativo, determine tal extenção.
Passo 1
Para que uma função seja contínua em um ponto, o limite tem de existir naquele ponto e ser igual ao valor da função naquele mesmo ponto. Ou seja, devemos ter:
Então, temos de calcular:
Olhando para esse limite, percebemos que usar uma substituição com coordenadas polares talvez seja um bom negócio, devido aos termos elevados ao quadrado no denominador e aos termos elevados ao cubo no numerador. Temos:
Substituindo:
Logo:
Passo 2
Para a função ser contínu em vamos ter
Então, podemos definir como:
Logo, agora é contínua em todo