USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 21a
Verifique se cada uma das leis abaixo define uma função contínua em todo :
(a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função definida por partes é contínua no plano .
Pra fazer essa verificação, vamos olhar para a parte “problemática” da função. Repare que ela tem uma lei de formação em e outra para . Então, se ela for contínua, o valor que a função assume nesse ponto, precisa ser igual ao valor do limite da função no ponto.
Nós já sabemos que para , temos . Então, vamos apenas calcular o limite:
Assim, se esse limite for igual a zero, nós podemos dizer que a função é contínua no ponto e, portanto, contínua em todo seu domínio.
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Para calculá-lo, vamos sair da interminação usando as coordenadas polares:
Assim, teremos:
Simplificando:
E usando a identidade , temos:
Como nosso limite depende apenas de , aplicando o limite, teremos:
Que é o mesmo valor que a nossa função assume quando . Portanto, nossa função é contínua em todo .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉