4- Esboce o maior conjunto no qual a função é contínua:

c) f(x, y) = (x^2 * y) / raiz(25 - x^2 - y^2)

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Para essa questão, temos que determinar qual é o maior conjunto no qual a função é contínua.

Sabemos que geralmente uma função é continua quando seu denominador for diferente de 0 .

Foi dada a função

f x , y = x 2 y 25 - x 2 - y 2

Com base nessa função, temos que determinar quais os possíveis valores a fazem ser descontínua.

Como dizemos, o denominador de f deve ser diferente de 0 , mas também tem uma coisinha que não pode acontecer, consegue ver o que é? 👀

O denominador de f é composto por uma raiz, assim, a raiz quadrada de um numero nunca será um valor negativo se tratando dos números reais.

Por isso, além do denominador ser diferente de 0 , o resultado das operações dentro da matriz deve ser maior que 0 .

Bora para os cálculos!

Passo 2

Vamos calcular os valores que fazem a função ser descontínua.

Como disse anteriormente, para f ser descontínua, seu denominador deve ser zero, ou seja

25 - x 2 - y 2 = 0 ou 25 - x 2 - y 2 ≥ 0

Usamos o sinal " ≥ " , pois dentro da raiz, não é possível ter um numero negativo quando estamos tratando do conjunto dos números reais.

Podemos perceber que essa equação que encontramos é muito parecida com a equação da circunferência, onde

25 - x 2 - y 2 ≥ 0 → x 2 + y 2 ≤ 25

Se x 2 + y ² for igual a 25 , vamos ter o seguinte

f x , y = x 2 y 25 - x 2 + y 2

f x , y = x 2 y 25 - 25

f x , y = x 2 y 0

Se x 2 + y ² for maior que a 25 ( 26 , por exemplo), vamos ter o seguinte

f x , y = x 2 y 25 - x 2 + y 2

f x , y = x 2 y 25 - 26

f x , y = x 2 y - 1

Esses casos não podem acontecer, no primeiro, quando x 2 + y 2 = 25 a função é descontínua, na segunda, quando x 2 + y 2 > 25 a função não existe.

Passo 3

Com base nas afirmações que construímos anteriormente, vemos que a função f é contínua apenas dentro da circunferência x 2 + y 2 < 25 .

A forma mais didática de escrever isso é

f   é   c o n t í n u a   e m   x , y ∈ R x 2 + y 2 < 25

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f   é   c o n t í n u a   e m   x , y ∈ R x 2 + y 2 < 25

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