É possível estender a função
De modo que a função resultante seja contínua na origem?
Passo 1
Bem, olhando para essa função, logo de cara já sabemos que ela não está definida na origem. Assim, para ela ser contínua na origem, precisamos primeiramente defini-la na origem E fazer com que o valor dela na origem seja igual ao limite dela quando tendem a .
Então na real mesmo, o que temos que fazer é calcular
E ver se ele existe. E, se ele existir, dizer que quando , a função vale esse valor de limite que encontrarmos.
Passo 2
Vamos ver se ele existe então.
Tentando por simples substituição, chegamos a indeterminação .
Passo 3
Beleza, mas observa uma coisinha: o grau do numerador (2) é menor que o grau do denominador (4). Isso é um forte indicio de que esse limite não existe. Desse modo, vamos tentar calculá-lo por caminhos.
Por exemplo, através da reta :
Opa, então esse limite não existe. Se ele não existe, não é possível definir a função no ponto , isto é, dizer que ela é igual ao valor do limite. Assim, não é possível estender a função de modo que a função resultante seja contínua na origem.
Resposta
Não.