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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 2 - Várias Variáveis, Limites e Continuidade, Questão 2.3

2.3. Determine os pontos de continuidade da seguinte função

f x , y = x 2 - y 2 x - 1 2 x 2 + y 2 x - 1 2 + y - 1 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0   e   x , y ≠ 1,1 1 ,   s e   x , y = 0,0 0 ,   s e   x , y = 1,1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Traduzindo o enunciado, queremos descobrir se a função f x , y é continua em todo seu domínio.

E aí, como fazemos isso? 😬

Primeiro vamos olhar para o denominador da função e analisar para quais pontos a função é indefinida, ou seja

x 2 + y 2 x - 1 2 + y - 1 2

Se x , y = 1,1 o termo x - 1 2 + y - 1 2 vai a 0 ...

Se x , y = 0,0 o termo x 2 + y 2 vai a 0 ...

Então para esses pontos a função assume outros valores, por exemplo 1 ,   s e   x , y = 0,0 e 0 ,   s e   x , y = 1,1 .

Então nossa tarefa é descobrir de a função f x , y tende a 1 quando x , y = 0,0 e tende a 0 se x , y = 1,1 .

Já entendeu? 🤔

Passo 2

Para fazer essa análise, vamos calcular o limite de f x , y para 0,0 e depois para 1,1 usando a parte da função quando x , y ≠ ( 0,0 ) ≠ 1,1 .

Começando por 0,0 ...

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x - 1 2 x 2 + y 2 x - 1 2 + y - 1 2

Vamos usar o método aproximação por curvas para obter o resultado.

Nos aproximando pela reta x = 0 , vamos obter

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x - 1 2 x 2 + y 2 x - 1 2 + y - 1 2 → lim 0 , y → 0,0 ⁡ 0 2 - y 2 0 - 1 2 0 2 + y 2 0 - 1 2 + y - 1 2

lim y → 0 ⁡ - y 2 y 2 1 + y - 1 2

lim y → 0 ⁡ - 1 1 + y - 1 2

Aplicando o limite, temos

lim y → 0 ⁡ - 1 1 + y - 1 2 = - 1 1 + 0 - 1 2

lim y → 0 ⁡ - 1 1 + y - 1 2 = - 1 2

Agora vamos nos aproximar pela reta y = x

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x - 1 2 x 2 + y 2 x - 1 2 + y - 1 2 → lim x , x → 0,0 ⁡ x 2 - x 2 x - 1 2 x 2 + x 2 x - 1 2 + x - 1 2

lim x → 0 ⁡ 0 x - 1 2 2 x 2 2 x - 1 2 = 0

Portanto, como encontramos dois resultados divergentes para f no ponto 0,0 , podemos afirmar que o limite não existe nesse ponto, portanto a função é descontinua em 0,0 .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma análise para x , y tendendo a 1,1 .

lim x , y → 1 , 1 ⁡ x 2 - y 2 x - 1 2 x 2 + y 2 x - 1 2 + y - 1 2

Aplicando o mesmo método, começando pela reta x = 1

lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 - y 2 x - 1 2 x 2 + y 2 x - 1 2 + y - 1 2 → lim 1 , y → 1,1 ⁡ 1 2 - y 2 1 - 1 2 1 2 + y 2 1 - 1 2 + y - 1 2

lim y → 1 ⁡ 1 2 - y 2 0 1 2 + y 2 y - 1 2

lim y → 1 ⁡ 0 = 0

Pela reta y = x já vimos que vai resultar em 0 independente do valor de x ou y já que o termo x 2 - y 2 = 0 se x = y .

Agora pela reta y = 1 ...

lim x , y → 1,1 ⁡ x 2 - y 2 x - 1 2 x 2 + y 2 x - 1 2 + y - 1 2 → lim x , 1 → 1,1 ⁡ x 2 - 1 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x - 1 2 + 1 - 1 2

lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1 2 x 2 + 1 x - 1 2

Simplificando e aplicando o limite

lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x 2 + 1 = 1 2 - 1 1 2 + 1 = 0

Como todas nossas aproximações resultaram no mesmo valor, podemos dizer que f tende a 0 se x , y → 1,1 , que é justamente o valor que a função assume no ponto 1,1 .

Com isso, vemos que f x , y é descontinua apenas em 0,0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x , y ∈ R x , y ≠ 0,0

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