Determine para a função abaixo, caso exista, para que a função seja contínua em .
Passo 1
Para a função ser contínua na origem, é preciso que o limite quando ela tenda a origem exista e seja bem definido. Esse limite é exatamente o que precisamos encontrar!
Então, o nosso problema é resolver:
E ver se ele existe!
Passo 2
Em limite de duas variáveis, é sempre bom começarmos pensando em fazer alguma substituição que, milagrosamente, resolverá a questão pra gente (mano, questão de limite não é pra ser difícil, ainda que algumas fujam à exceção).
Aí, teremos basicamente duas opções: A primeira, o limite existe, e é um número muito bem definido, que não depende das variáveis (normalmente é ...). A segunda, encontraremos mais de um limite, fazendo diferentes substituições, e então, provaremos que ele não existe.
Nesse caso vamos observar que:
- O denominador tem dois termos somados, sendo que um deles é uma subtração , o que nos sugere usar a substituição , pois qualquer coisa subtraída de não será anulada!
- O numerador e o denominador tem termos de mesmo grau, o que sugere usar a substituição ou , porque manteremos o grau, e poderemos cortar as variáveis em cima e embaixo pra chegar num valor bem definido.
Vamos fazer essas substituições e ver no que dá. Se encontrarmos o mesmo valor para nas duas, ainda teremos que fazer outras substituições até provar que ele não existe, ou usar o teorema do sanduíche e provar que ele de fato existe.
Passo 3
Fazendo a substituição teremos:
Beleza! Para essa substituição, nosso limite deu . Mas isso não prova que ...
Passo 4
Agora, fazendo a outra substituição, teremos:
Para
Novamente, encontramos um valor para !
Mas perceba, esses valores são diferentes, para o primeiro caso, temos , para o segundo, temos ! Bom, isso é completamente inadmissível, não podemos ter dois limites para um mesmo ponto. Portanto, não existe que faça a função ser contínua na origem :)
Resposta
Não existe que faça a função ser contínua na origem.