UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Pedro Hinojosa - Lista de Exercícios 5, Questão 3c
Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado.
c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se a função é contínua no ponto . Nossa função é definida por partes e temos uma lei de formação para quando e uma para quando . No ponto , temos .
Uma função é contínua em um ponto quando o valor da função aplicada no ponto é igual ao limite dela naquele ponto, ou seja:
Então, vamos calcular o valor da função no ponto dado e verificar se o valor do limite é o mesmo.
Vamos lá!
Passo 2
Nós já temos , então vamos calcular o limite nesse ponto:
Pra resolver esse limite, vamos converter para coordenadas polares usando:
Assim, tendo tudo na mesma variável, vamos usar o Teorema do confronto para calcular o limite na forma:
Como o limite depende apenas de , vamos começar dando uma arrumada no limite, colocando o termo constante para fora, no caso o :
Agora vamos pensar no seguinte, a função seno é uma função limita entre e para qualquer argumento que ela tenha. Então, temos:
Se a gente escrever essa função em módulo, vamos ter:
Multiplicando todos os termos pelo módulo de :
Assim, aplicando o limite de quando tende a zero, vamos ter:
A gente sabe que o limite da constante é a própria constante, então . E como a função modular de é contínua, também temos .
Sendo assim, pelo Teorema do confronto, vamos obter:
E pra que isso seja verdade:
Multiplicando pelo seno de :
Portanto, o limite existe e a função é contínua no ponto.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉