Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade
Considere
Existe algum número real para o qual seja contínua em ? Justifique.
Passo 1
Essa está mais do que manjada! Para a função ser contínua, então o limite quando ela tende ao ponto em questão deve ser o mesmo valor que ela assume nesse ponto! Neste caso, obviamente, o limite deve existir. Enfim, resumindo a história, devemos fazer o limite:
E ver se ele existe. Se existir, esse será o valor para o !
Passo 2
Agora vamos olhar esse limite de perto... tem um seno, que é um bom sinal, pois é uma função limitada entre e ! E do lado esquerdo dele, tem . Logo, como o limite de um produto é o produto dos limites, se o limite dessa outra parte com a fração for , o limite todo dá !
Para saber se o limite dessa fração existe, vale a pena usar o teorema do sanduíche, pois temos o mesmo termo no numerador e no denominador, e a dedução fica imediata. Veja se concorda que:
Show? Um número ao quadrado é sempre maior que , e um outro número ao quadrado somado a ele, será maior do que ele sozinho! E, se dividirmos tudo por , temos:
E temos aí que a função é limitada, assim como o seno! Pena que ele não deu igual a , se não a questão já morria aqui...
Passo 3
Nada podemos dizer sobre o limite de duas funções limitadas... Então, vamos escolher uma para tentar encontrar o limite igual a ? Acho que nesse caso o seno é a melhor opção, porque ficará
E esse limite, preste bem atenção, não tem indeterminação nenhuma! Quando e vão pra , temos:
E como vai pra infinito, temos:
E aí está! O limite para o seno, quando , é ! Como a fração é limitada entre e , o limite todo dá ! Assim, o valor que deve assumir é , para a função ser contínua!
Resposta
deve ser