Funções de Várias Variáveis, Limites e Continuidade
a) Defina continuidade de uma função de duas variáveis em um ponto de seu domínio.
b) Dada a função
é possível encontrar de maneira que seja contínua em ?
Passo 1
a) Essa é mole, né? Para uma função ser contínua, ela não pode ter saltos ou pontos de indeterminação (quando parte pra infinito ou coisa do tipo). Formalizando, isso significa, que, tendo um ponto , então, se o valor do limite quando a função tende a esse ponto é igual ao valor que a função assume nele, ela é contínua :D
Passo 2
b) Usando a nossa definição do item , para a função dada ser contínua em , então o limite quando ela tende à origem deve ser igual a , que é o valor que ela realmente assume nesse ponto! Assim, temos que fazer o limite:
Se existir, então ela é contínua!
Passo 3
Partiu resolver esse limite! Como sempre, nosso primeiro passo é sair “chutando” caminhos para percorrer a função até encontrar dois limites diferentes, e provar que não pode existir (o que, normalmente é mais fácil do que usar o Teorema do Sanduíche). Mas, claro, devem ser chutes conscientes!
Como assim? Queremos que o denominador seja sempre , para não cairmos em indeterminações! Por exemplo, se escolhermos o caminho , teremos:
Neste caso, temos ! Entendeu? Como vimos que tínhamos uma soma no denominador, não era um problema colocar uma das componentes igual a !
Passo 4
Ok, e agora? Alguma outra boa sugestão de caminho? Seria bom um que fizesse o grau do numerador ser igual ao do denominador, para cortar o parâmetro , né? Observando o limite, temos:
Perceba que, independente do caminho que queiramos colocar, seja , , , sempre o grau do numerador será menor que o do denominador, e não podemos cortar! E agora? Teremos que partir para o Teorema do Sanduíche!
Passo 5
Para usar esse teorema, a melhor dica é: Veja o que tem igual no numerador e no denominador. Então, isole a parte da fração que tem esse termo.
No nosso caso, veja que temos no numerador e no denominador. Então, vamos isolar a parte da fração com esse termo, ficando:
Tá, e em que isso nos ajudou? Veja que o termo tende a , certo? E, agora, tudo o que temos que ver é se é uma função limitada! Se for, poderemos alegar, pelo Teorema do Anulamento, que temos uma função que tende a multiplicada por uma que é limitada, e então o limite todo dará realmente ! Outra opção, também, será se o limite dessa parte da fração for qualquer constante. Assim, teremos um limite tendendo a e outro tendendo a uma constante, e então o total dá , pois estão multiplicados!
Passo 6
Sem mais enrolação, vamos ensanduichar a fração! Aqui, o processo é bem metódico:
Pegue o numerador, que normalmente estará ao quadrado, e diga que ele é maior ou igual a :
Agora, como temos, no denominador o somado a outro número ao quadrado, então:
Show? Agora, para chegar na fração inicial, dividimos tudo por :
E, então:
A aí está! Provamos que a fração é limitada entre e ! Posso te contar um segredo? Esse molde se fração sempre cai nas provas e exercícios! Sempre que vir uma variável ao quadrado dividida por ela mais outra ao quadrado, lembre disso, a fração é limitada!
Passo 7
Agora temos a faca e o queijo na mão! Encontramos que está entre e , e, além disso, tende a ! Assim, o limite
E, então, para a função ser contínua, temos que deve valer !
Sofrido né? Parece tudo tão macetado que até bate um desespero... Resolver limite é chato mesmo, mas tenha em mente sempre o seguinte:
- Tente encontrar dois limites diferentes para provar que não existe o limite da função
- Se o passo 1 der errado, então é porque a função certamente tem uma parte limitada e outra que tende a ! Tente, então encontrar algo parecido com , isole essa parte, prove que ela é limitada, e, se a banca for generosa como foi agora, o resto estará tendendo a !
Resposta
a) Uma função é contínua quando o valor do limite quando ela tente a é igual ao valor dela nesse ponto.
b)