Seja dada por

Decida se é contínua nos pontos e .

Começando por

Se tentarmos simplesmente substituir o ponto , vemos que chegamos a uma indeterminação do tipo .

Assim, precisamos de outra maneira pra resolver esse limite.

Se olharmos para a expressão do limite, também não parece que o teorema do sanduiche se aplica. Dessa forma, suspeitamos que esse limite não existe.

Para provar isso, vamos tentar calculá-lo pelo caminho :

Pois esse é um limite trigonométrico fundamental.

Ok, agora vamos tentar pelo caminho :

Ou seja, calculando por dois caminhos direrentes, achamos resultados diferentes, logo, esse limite não existe mesmo e assim a função não pode ser contínua em .

Agora, vamos resolver

Se tentarmos simplesmente substituir o ponto , vemos que chegamos novamente a uma indeterminação do tipo .

Assim, precisamos de outra maneira pra resolver esse limite.

Repare que a expressão do limite pode ser escrita como

Então, ficamos com:

Para resolver esse limite, como ele é o produto de duas funções contínuas, podemos fazer:

Para resolver esse primeiro limite, podemos fazer:

Nesse caso dava pra substituir direto, pois o ponto faz parte do domínio dessa função aí, daí a gente não chegou a nenhuma indeterminação usando a simples substituição.

Maravilha, agora vamos resolver

Nesse caso, repare que temos um termo que se repete no numerador e no denominador: . Parece uma boa ideia fazer uma mudança de variável então:

Assim:

O limite fica:

Porque esse é o limite fundamental trigonométrico.

Voltando ao nosso limite de interesse e substituindo os resultados que encontramos, temos, finalmente:

Opa, então

E nossa função é contínua no ponto .